Stammfunktion mit sehr guter Näherung

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Meine Frage:
Ich habe die Gaußfunktion gegeben:

Ich soll zeigen, dass die Funktion

für x-Werte mit

in sehr guter Näherung eine Stammfunktion zu f(x) darstellt.

Meine Ideen:
Muss ich F(x) einfach ableiten?

Denn wenn ich ableite und dann

für

einsetze,

komme ich auf

Also ist A so klein, dass auch 2A noch eine gute Näherung darstellen?

Bedanke mich schonmal herzlichst für Hilfe.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Nein, dein Ableitung ist falsch. Es macht überhaupt keinen Sinn (x-x0)² durch 1/2\alph zu substituieren. Du musst lediglich die Ableitung bilden und dann den Grenzwert 2\alph*(x-x0)²-->unendlich bilden.
Wenn du die Produktregel anwendest, erhältst du zwei Terme. Der erste wird für große (x-x0) verschwindent klein, der zweite ist genau die gesuchte Funktion.

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Ok, alles glasklar, dankeschön!

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Also ich bräuchte doch nochmal Hilfe.
Ich scheine das einfach nicht zu begreifen. grübelnd

Ich soll jetzt dieses Integral mit dem Ergebnis daraus näherungsweise
berechnen, vielleicht mit F(x)?

Aber wenn ich

in F(x) einsetze und x0 vielleicht 0 ist,
komme ich auf kein richtiges Ergebnis.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Ist denn die Bedingung
(x-x0)²>>1/(2 Alpha)
erfüllt für (x-x0) = +/- 3 Sigma?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Bei den Integrationsgrenzen von

ist die angegebene Formel ja schon eine gute Näherung, und du kannst das Integral über

berechnen.

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Geht leider alles über meinen Kopf. Haue / Kloppe / Schläge

(Chillosaurus und Myon =))

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Zeig uns einfach, was du bisher versucht hast.
Leider ist natürlich für (x-x0) = 3sigma
(x-x0)² = 9sigma²
nicht unbedingt viel größer als 1/(2Alpha)
und damit die Stammfunktion nur eine mäßig gute Näherung.

Wenn du sie trotzdem für deine Abschätzung nutzen möchtest, dann kannst du dir u.a. die Symmetry ausnutzen, da F(x)=-F(-x) ist.
Damit ist deine Lösung:
2*F(3sigma).

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Aber wenn die Lösung 2*F(3sigma) ist, kommt dann nicht mit

2,95*10^-3 heraus?

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Ich habe einfach nur durch Rechnungen und Quellen und alles geschaut, weil ich wohl einfach nicht das Konzept verstehe.

Ich bin einfach verwirrt inwiefern ich jetzt hier das Integral richtig verwenden muss.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Also erwarten würde man etwa 0.98.
Wie gesagt für kleine Werte ist die Stammfunktion nicht genau.
Wenn ihr das Vorwissen reinstecken könnt, dass die Funktion auf 1 normiert ist, also das Integral

für die Integration über den Gesamten Raum,
dann kannst du dein Integral auch wie durch Myon angedeutet bestimmen. Dann nutzt du aus, dass das Integral zwischen 0 und 3sigma der Fläche entspricht, die bei der Integration von 3sigma bis unendlich auf die halbe Gesamtfläche (also 0.5) fehlt. Vorteil ist, dass hier (x-x0) groß ist.

toametrunui · Anmeldungsdatum: 29.10.2016 Beiträge: 9

Also rechne ich das Integral nicht direkt aus, sondern komme eher mit Überlegungen der Spiegelsymmetrie der Funktion zu einem Ergebnis.

Und wenn ich

rechne, komme
ich ja auf ein relativ genaues Ergebnis.

Ganz großes Danke an dich und Myon.