Wasserstoffatom - Näherung des Potentials als Potentialtopf

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Hallo Community,

erneut wende ich mich mit einer kurzen Frage an euch.

Es scheint, als hätte ich ein großes Problem die Näherung des Coulompotentials als Potentialtopf zu verstehen.

Es wird immer gesagt, dass ein Teilchen sich in einem unendlich hohen Potentialtopf bei dem die Wände bei x=0 und x=L liegen im Bereich 0<x<L frei bewegen kann.
Soweit hoffe ich richtig verstanden zu haben, dass dies daraus folgt, dass das Potential ein Kraftfeld definiert. Entsprechend wirkt auf das Teilchen genau an den scharfen Kanten eine rücktreibende Kraft, sonst aber nirgend. Dadurch wird das Teilchen im "Topf" eingesperrt.

(Falls dies schon falsch ist, so würde ich mich über eine Klarstellung sehr freuen)

Nun zum Wasserstoffatom:

In unserer Vorlesung zu Halbleiterbauelementen haben wir uns das Coulompotential infolge des Kerns angeschaut.
Hier sieht man auf Seite 1 die Skizze dazu:
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap13/images/kap13.pdf

Es wirkt also auf das Elektron die Coulombkraft und gemäß der Gleichung:
Potentielle Energie = Integral über die Kraft
kann nun die potentielle Energie berechnet werden. Diese ist nun als Kurve aufgetragen. Damit existiert ein Zusammenhang zwischen der potentiellen Energie des Elektrons im elektrischen Feld des Kerns und dem Abstand des Elektrons vom Kern. Zu jedem Abstand kennt man die pot. Energie des Elektrons.

Warum wird nun in der Literatur oftmals behauptet, dass das Elektron sich in diesem Trichterförmigen Potentialtopf befinden kann. Die genauen Energieniveaus liefert dann die Lösung der Schrödinger Gleichung.

Was genau muss ich mir unter dem Coulompotential vorstellen? Wie wirkt es, was tut es, wo wirken Kräfte in welche Richtung?

Sorry für die vielen Fragen...bin da momentan noch etwas ratlos.

Beste Grüße und vielen lieben Dank im Voraus!

DunkDream[/b]

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Zunächst mal verstehe ich den Sinn der Kastenpotentialnnäherung nicht; diese ergibt leider ein ziemlich falsches Bild, insbs. skalieren hier die Energieeigenwerte ~n², im Coulombfall jedoch ~ 1/n². Im Falle des Coulombpotentials gibt es ein Kontinuum ungebundener Zustände für E>0, im (unendlich hohen) Kastenpotential dagegen nicht. Insgs. ist das ziemlich seltsam.

Zu deinen Fragen:

Ja, gemäß der Gleichung:
Potentielle Energie = Integral über die Kraft
kann die potentielle Energie berechnet werden. Aber es ist durchaus zulässig (bzw. heute die gängige Interpretation), die potentielle Energie ~1/r als Ausgangspunkt zu nehmen und die Kraft als abgeleitete Grö0e

Ja, damit existiert ein Zusammenhang zwischen der potentiellen Energie des Elektrons im elektrischen Feld des Kerns und dem Abstand des Elektrons vom Kern.

Das Elektron „befindet sich in diesem Potentialtopf“, weil für die Energieeigenwerte der gebunden Zustände E < 0 gilt, diese also unterhalb von V=0 liegen. Oberhalb, d.h. für E > 0 liegen nicht-gebundenen Streuzustände vor.

Ja, die genauen Energieniveaus liefert dann die Lösung der Schrödinger Gleichung. Wenn Ihr die Gleichung nicht diskutiert, musst du das eben glauben ;-)

Die genaue „Vorstellung“ Coulompotential ist so gut und so schlecht wie die des Newtonschen Graviattionspotentials. Zwei Ladungen ziehen sich mit F ~ 1/r² an, d.h. es liegt ein Potential V ~ 1/r vor. Zwei Massen ziehen sich mit F ~ 1/r² an, d.h. es liegt ein Potential V ~ 1/r vor (Im Falle gleichen Vorzeichens liegt bei Ladungen Abstoßung vor; das gibt es im Gravitationspotential nicht, dieses wirkt immer anziehend).

Wenn du dir den Kern bei r=0 festgehalten denkst, dann ist die Kraft immer radial nach innen gerichtet. Aber vom Begriff der Kraft solltest du dich hier verabschieden, dies ist im Rahmen der Quantenmechanik irreführend

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Also die Lösung der Schrödingergleichung ist für einen unendlich hohen Potentialtopf diskutiert worden. Über die zeitunabhägigkeit des Potentials ist man zum Separationssatz gekommen und hat dann die zeitunabhägige Schrödingergleichung lösen können. Am Ende resultierten die diskreten Energieniveaus.

Ich denke, dass es sich dabei praktisch nur um Mathematik handelte und dass ich die Lösung und die Konsequenzen im Großen und Ganzen verstanden habe.

Es geht mir mehr um die Idee hinter dem Potentialtopf selbst.

Angenommen wir bleiben beim unendlich hohen Potentialtopf:

Muss ich mir jetzt vorstellen, dass ein Elektron eine gewisse Energie besitzt und da diese nicht so hoch wie das Potential (=potentielle Energie hier?) es den Raumbereich innerhalb des Topfes nicht verlassen kann?
Wäre ein zulässiges Analogon folgendes:
Eine Kugel wird in einer großen parabelförmigen Schale um halber höhe h losgelassen und läuft reibungsfrei in der Schale. Sie wird zwischen den beiden Umkehrpunkten pendeln, da ihre Energie=const. die potentielle Energie für ein Überqueren des Niveaus h nicht ausreicht. Insbesondere wird sie sich aber eindimensional gesprochen über einen gewissen Raumbereich (sagen wir die Schalenmitte befinde sich bei 0 und geht rechts bis +L und links bis -L) 2L bewegen.

Ist das bei dem Elektron im Potentialtopf auch so gemeint? Es besitzt also eine gewisse potentielle Energie, die aber zu gering ist um aus dem Topf auszubrechen?

Und würde man die horizontale Bewegung dann auf einem gewissen Niveau E_0 in dem Diagramm ansetzen?

Das wäre quasi die erste fundamentale Frage.

Liege ich mit dem obigen richtig?

Falls ja, so würde ich die Sache mit dem Coulompotential nochmal etwas präzisieren wollen, hab's leider noch nicht verstanden.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

Vom Lesen der Frage hab ich das Gefuehl, dass fuer Dich der Zusammenhang von potentieller Energie, einwirkender Kraft und den Bewegungsleichungen (und deren Loesungen) nicht klar ist. Das ist aber kein Problem mit der QM selber, sondern mit klassischer Mechanik im wesentlichen.

Ich wuerder vorschlagen Du guckst dir Mal das analoge im Gravitationspotential an: Was ist die Gravitationskraft, wie kommt man zum Potential (und wieder zurueck)? Was sind die Bewegungsgleichungen und was einfache Loesungen davon (offene und geschlossene Bahnen, Stichwort: Keplerbahnen)?

Das Couombpotential kann man dann ganz analog klassisch behandeln.

und dann kommen erst die ganzen QM Schwierigkeiten dazu...

EDIT: Meine Antwort hat sich mit Deiner auf TomS ueberschnitten.. aber ich glaub trotzdem, dass Du das Problem erst im klassischen und dann erst in der QM betrachten solltest, sonst vermischen sich zwei Sachen die nichts miteinander zu tun haben.

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Zur klassischen Mechanik:

Durchaus bin ich auf diesem Gebiet sicher nicht so weit wie ein echter Physikstudent. Ich als Elektrotechniker habe nur eine Nebenfachvorlesung genoßen und hatte in der Schule in der Oberstufe kein Physik.

Aber insgesamt bin ich eigentlich mit der höheren Mathematik in diesem Bereich vertraut (Mehrdim. Diff- und Int-Rechnung, Vektoranalysis).

Zum Begriff Potential und dem Zusammenhang zur Kraft und potentiellen Energie habe ich mich hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Potential_(Physik) und hier: http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw_for_et/ nochmals eingelesen.

Relevant dürfte wohl sein, dass man bei bekanntem Potential das Vektorfeld (Kraftfeld) berechnen kann.

Leider kann ich die klassische Mechanik nicht auf das gesamte Zeug mit den Potentialtöpfen übertragen.

Meine Frage steht also noch immer im Raum:

Warum wird behauptet, dass sich das Elektron im Topf bewegen kann?
Insbesondere interessieren mich die Verhältnisse, die beim Wasserstoffatom auftreten.

Vielleicht könnte mir jemand einfach nochmal die Zusammenhänge darstellen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Schau dir einfach mal das Verhalten eines Planeten im Newtonschen Gravitationspotential. Berechne für einen kreisförmigen Orbit die kinetsixche Energie T, die potentielle Energie V sowie die Gesamtenergie E = T+V.

Was bedeutet es jetzt, dass der Planet "im Potentialtopf sitzt"?
Was würde wohl für einen ungebundenen Orbit bedeuten, auf dem ein Objekt (eine interstellare Raumsonde)entkommen kann?

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Alles klar, hab's verstanden!

Finally Big Laugh

Es scheint wirklich das Problem mit der Anwendung der klassischen Mechanik gewesen zu sein. Die theoretischen Konzepte sind mir bekannt...die Anwendung stellte eher das Probem dar.

Bewegung eines Planeten im newtonschen Gravitationspotential hat es endlich gerichtet!

Danke für eure Hilfe !