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1234physik
Anmeldungsdatum: 10.05.2016
Beiträge: 23
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 1234physik Verfasst am: 09. Jun 2016 13:02 Titel: Mit Taylorreihe nachrechnen |
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Meine Frage:
Aufbage: Mit Hilfe der Taylorreihe soll man zeigen, dass sin(Φ)≈Φ ist. Dabei ist Φ>30°.
Meine Ideen:
Die 30° in umrechnen in rad.
30°=0,5236
Ich habe das für zwei Winkel <30° gezeigt, nur war das nicht mit der Taylorreihe. Wie sieht denn die Tailorreihe aus, die das für alle Winkel unter 30° zeigt?
Vielen Dank schon mal.
Zuletzt bearbeitet von 1234physik am 09. Jun 2016 16:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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yellowfur
Moderator
Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804
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| yellowfur Verfasst am: 09. Jun 2016 14:02 Titel: |
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Da hast du aber viele Fragezeichen. Versuch doch bitte, die schiefgegangenen Symbole so zu ersetzen, dass man versteht, was du meinst.
Ich nehme an, du sollst zeigen, dass für kleine Winkel  gilt:
In jedem Fall brauchst du die Taylorreihe, die im allgemeinen Fall für die Stelle x0
 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k)
lautet. Dabei soll (k) für die k-te Ableitung stehen. Setz doch mal ein, was bekommst du denn heraus für die ersten paar Terme?
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Wenn du einen Traum hast, dann folge ihm. Wer weiß, wo er dich hinführen könnte. |
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1234physik
Anmeldungsdatum: 10.05.2016
Beiträge: 23
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| 1234physik Verfasst am: 09. Jun 2016 15:59 Titel: |
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Hallo, danke für die schnelle Antwort. Ja das soll ein Winkel sein.... komisch, dass da jetzt Fragezeichen stehen.
ich habe das jetzt bis zur vierten Ableizung mit x=0,5236 gemacht. Alle geraden Ableitungen verschwinden.
Aber wie schreibe ich das allgemein konkret für meinen Fall auf? Ich weiß doch garnicht bis zu welcher Ableitung und ich kann doch nicht alle Winkel unter 30° den ganzen Ableitungen ausrechnen...
Sorry, ich bin nicht so gut in Mathe und Physik.... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 09. Jun 2016 16:01 Titel: |
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Erstmal solltest Du nochmal die Aufgabe lesbar (und vollständig) hier posten... ansonsten kann man Dir nicht wirklich effektiv helfen. |
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yellowfur
Moderator
Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804
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| yellowfur Verfasst am: 09. Jun 2016 16:18 Titel: |
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| 1234physik hat Folgendes geschrieben: | Hallo, danke für die schnelle Antwort. Ja das soll ein Winkel sein.... komisch, dass da jetzt Fragezeichen stehen.
ich habe das jetzt bis zur vierten Ableizung mit x=0,5236 gemacht. Alle geraden Ableitungen verschwinden.
Aber wie schreibe ich das allgemein konkret für meinen Fall auf? Ich weiß doch garnicht bis zu welcher Ableitung und ich kann doch nicht alle Winkel unter 30° den ganzen Ableitungen ausrechnen...
Sorry, ich bin nicht so gut in Mathe und Physik.... |
Ja genau, alle geraden Ableitungen verschwinden, also kannst du doch die übriggebliebenen Potenzen von x (oder Theta, je nachdem, wie du den Winkel nennst), mit Vorfaktoren aufschreiben.
Setz doch einfach mal k=1,2,3 ein, leite k-mal ab und multipliziere das Ergebnis mit x^k. Du wirst nicht so viele Terme ausrechnen müssen. Das x beziehungsweise Theta kannst du stehenlassen, das ist erstmal frei wählbar. (Vergiss also erstmal, dass du nachher damit etwas mit 30 Grad zeigen sollst).
Und nimm dir den Rat von jh8979 zu Herzen, schreib bitte die Aufgabe nochmal sauber leserlich auf.
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1234physik
Anmeldungsdatum: 10.05.2016
Beiträge: 23
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| 1234physik Verfasst am: 09. Jun 2016 17:23 Titel: |
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Ich eintschuldige mich für das Geschmiere. Ich habe es oben geändet. Und hier noch einmal die Aufgabenstellung:
Falls das nicht verständlich ist, tut es mir Leid.
Mit Hilfe der Taylorreihe soll man zeigen, dass sin(Φ)≈Φ ist. Dabei ist Φ>30°.
-Grundsätzlich mit Bogenmaß rechnen.
Ableitungen:
=sin(\varphi ))
=cos(\varphi ))
=-sin(\varphi ))
=-cos(\varphi ))
Tut mir Leid, ich verstehe das alles nicht, das ist hoffnungslos. Trotzdem danke ich euch. |
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yellowfur
Moderator
Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804
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| yellowfur Verfasst am: 09. Jun 2016 22:32 Titel: |
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Nein, nein, jetzt nur nicht aufgeben, du hast doch schon die Ableitungen alle richtig hingeschrieben!
Das heißt, du hast alle ^{(k)}) von k = 0 bis k=3. Das ist doch gut. Da steht aber x0, nicht x, also musst du den Punkt einsetzen, um den du die Reihe entwickelst, also hast du
Da steht aber noch im Nenner das k! (k Faultät), also kannst du doch einfach noch k = 0 bis 4 einsetzen:
Und zum Schluss steht in der Formel noch ^k,)
das gibt dir einen Faktor
^0= 1,)
^1 = x,)
^2 = x^2,)
^3 = x^3.)
Jetzt einfach alles zusammenbauen:
^{(k)}}{k!}(x-x_0)^k=\frac{0}{1}\cdot 1+\frac{1}{1}\cdot x - \frac{0}{4}x^2-\frac{1}{6}x^3.)
Ich habe den Verdacht, dass du zeigen sollst, dass das für besonders kleine Winkel x (beziehungsweise Theta) < 30 Grad gelten soll.
Schau dir die Terme an, die du herausbekommst: Der erste, der übrigbleibt ist x und alles, was danach kommt, ist mindestens zur dritten Potenz und davon nur ein sechstel - das ist sehr klein und wenn du eine kleine Zahl (30 Grad = 1/6 pi) potenzierst, wird sie noch kleiner. Du darfst also alle anderen Terme wegwerfen und für kleine Winkel  annehmen!
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1234physik
Anmeldungsdatum: 10.05.2016
Beiträge: 23
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| 1234physik Verfasst am: 10. Jun 2016 22:21 Titel: |
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Hi. Ich danke dir für deine Hilfe.
In Mathe haben wir erst heute mit dem Thema angefangen, und für Physik sollte ich es schon können.
Vielen lieben Dank.
Grüße |
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