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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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 WhiteRussian Verfasst am: 16. Mai 2011 14:29 Titel: Taylorreihe der Gravitationskraft |
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Meine Frage:
Hallo,
Das Gravitationsgesetz lautet ja
Jedoch stellt der linke Teil der Gleichung nur konstanten Teil einer Taylorreihe dar. Jetzt will ich das 2.Glied berechnen, bin mir aber nicht 100%ig sicher, wie das aussieht.
Meine Ideen:
Meine Idee wäre jetzt, dass ich dazu die dritte Ableitung brauche.
Die Taylorreihe wrde dann so aussehen:
)
Das a wäre jetzt hier in dem Beispiel der Erdradius. Liege ich damit richtig? Allerdings weiß ich nicht so ganz wie ich die dritte Ableitung berechnen soll... |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 16. Mai 2011 15:38 Titel: |
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Habe oben wohl Gravitationskraft mit der Beschleunigung verwechseltAlso bitte das  durch ein g ersetzen...
Leider habe ich nun überhaut keinen Peil mehr, wie ich die Taylorreihe nun aufstelle? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 16. Mai 2011 15:49 Titel: |
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Das sieht alles sehr wirr aus. Erstmal zwei Fragen:
Was willst du genau um welchen Punkt in einer Taylorreihe entwickeln ?
Wozu brauchst diese Entwicklung ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 16. Mai 2011 15:51 Titel: |
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So wie du das Gravitationsgesetz hinschreibst ist das ja zunächst mal eine Differentialgleichung für ein Teilchen der Masse m, das im Gravitationsfeld frei fällt. Das ist exakt gültig und bedarf keiner Näherung bzw. ist keine Näherung.
Wie kommst du da drauf?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 16. Mai 2011 17:42 Titel: |
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Wenn du dawas entwickeln willst, dann die rechte Seite um irgeneinen Wet r0, das könnte z.B. Erdradius sein. Allerdings ist meist praktischer ein Potential zu entwickeln. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 16. Mai 2011 18:22 Titel: Re: Taylorreihe der Gravitationskraft |
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| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | Die Taylorreihe wrde dann so aussehen:
Das a wäre jetzt hier in dem Beispiel der Erdradius. Liege ich damit richtig? Allerdings weiß ich nicht so ganz wie ich die dritte Ableitung berechnen soll... |
In drei Dimensionen sieht die zweite Ableitung so aus:
Daraus folgt für die dritte Ableitung
}}{{\left| r \right|^5 }} - \frac{{\ddot r}}{{\left| r \right|^3 }}} \right])
Die höheren Ableitungen werden dann schnell unübersichtlich. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 16. Mai 2011 18:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | So wie du das Gravitationsgesetz hinschreibst ist das ja zunächst mal eine Differentialgleichung für ein Teilchen der Masse m, das im Gravitationsfeld frei fällt. Das ist exakt gültig und bedarf keiner Näherung bzw. ist keine Näherung. |
Es ist zwar exakt gültig für die Beschleunigung, aber für die Geschwindigkeit oder den Ort liefert es tatsächlich nur eine Näherung:
 \approx r\left( {t_0 } \right) + \dot r\left( {t_0 } \right) \cdot \Delta t + {\textstyle{1 \over 2}}\ddot r\left( {t_0 } \right) \cdot \Delta t^2)
Wenn man die Entwicklung an dieser Stelle abbricht, führt das zum Euler-Integrator, der bekanntlich nicht sonderlich gut ist. Je mehr höhere Ableitungen man dazu nimmt, um so besser wird die Extrapolation. So könnte man sich theoretisch einen beliebig genauen Integrator basteln. Aber leider nur theoretisch, weil das praktisch viel zu kompliziert wird. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 16. Mai 2011 18:35 Titel: |
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| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dawas entwickeln willst, dann die rechte Seite um irgeneinen Wet r0, das könnte z.B. Erdradius sein. |
Wenn man um einen Ort und nicht um einen Zeitpunkt entwickelt, dann muss man natürlich auch die Ortsableitungen und nicht die Zeitableitungen verwenden. Das führt dann zur Multipolentwicklung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 16. Mai 2011 18:41 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | So wie du das Gravitationsgesetz hinschreibst ist das ja zunächst mal eine Differentialgleichung für ein Teilchen der Masse m, das im Gravitationsfeld frei fällt. Das ist exakt gültig und bedarf keiner Näherung bzw. ist keine Näherung. |
Es ist zwar exakt gültig für die Beschleunigung, aber für die Geschwindigkeit oder den Ort liefert es tatsächlich nur eine Näherung |
Wenn es als DGL exakt ist, dann ist auch die Lösung der DGL exakt - wenn auch ggf. kompliziert zu integrieren.
Aber er/sie möge doch erstmal sagen, was er/sie eigtl. will
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 16. Mai 2011 19:14 Titel: |
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Naja TomS das bekannte F=-mg ist eine Taylorreihenentwicklung der obigen Formel für r0=Erdradius bis zum einem konstanten Glied, findet durchaus ihre Anwendungen. Eventuell ist jemand für größere Höhen an einem Korrekturterm höherer Ordnung interessieirt. Sinn macht es doch schon.
PS: Es ist übrigens i.A. nicht analytisch lösbar. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 16. Mai 2011 19:27 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn es als DGL exakt ist, dann ist auch die Lösung der DGL exakt |
Das ist zwar richtig, aber eine Taylorentwicklung ist eben nur eine Näherung für diese Lösung. Allerdings weiß ich genausowenig wie Du, worum es hier wirklich geht. Mich verwirrt insbesondere die Tatsache, dass einerseits um einen Ort entwickelt, aber andererseit die Ableitung nach der Zeit gesucht wird. Das passt nicht zusammen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 16. Mai 2011 20:32 Titel: |
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| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | Naja TomS das bekannte F=-mg ist eine Taylorreihenentwicklung der obigen Formel für r0=Erdradius bis zum einem konstanten Glied, findet durchaus ihre Anwendungen. Eventuell ist jemand für größere Höhen an einem Korrekturterm höherer Ordnung interessieirt. |
OK, das könnte sein; aber statt dessen steht da ja die exakte Formel, d.h. eben nicht mg. Also jetzt doch eine Taylornäherung um den Erdradius? Oder ein exakter Ansatz, allerdings mit Hilfe des Energiesatzes und einer DGL erster Odnung?
Er/sie soll was sagen ...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 16. Mai 2011 20:33 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn es als DGL exakt ist, dann ist auch die Lösung der DGL exakt |
Das ist zwar richtig, aber eine Taylorentwicklung ist eben nur eine Näherung für diese Lösung. Allerdings weiß ich genausowenig wie Du, worum es hier wirklich geht. Mich verwirrt insbesondere die Tatsache, dass einerseits um einen Ort entwickelt, aber andererseit die Ableitung nach der Zeit gesucht wird. Das passt nicht zusammen. |
Warten wir's ab; raten bringt wenig
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2011 08:01 Titel: |
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| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | PS: Es ist übrigens i.A. nicht analytisch lösbar. |
Warum?
Man würde natürlich den Energiesatz und damit eine DGL erster Ordnung verwenden (statt wie hier einer DGL zweiter Ordnung; das ist komplizierter als nötig) und diese kann für den radialen Fall m.E. durch Trennung der Variablen integriert werden.
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 17. Mai 2011 09:23 Titel: |
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Integrieren ja, aber dann gewinnt man nur eine Funktion für die Zeit t(r) von der man noch die Umkehrfunktion bilden muss. Eine analytische Umkehrfunktion gibts da aber nicht.
Letztendlich kann man das Gravitationsgesetz zu dem Energiesatz durch integrieren bringen, wenn das analytische Lösungen liefern würde, dann wäre auch das Gravitaiongesetzt analytisch lösbar. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 17. Mai 2011 12:02 Titel: |
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Sorry, dass ich mich nicht gemeldet habe! Ich war anderweitig beschäftigt.
Ich habe mich geirrt. Diese Physiker sind sowas von konfus. Sie beziehen sich in Aufgabe 5, Teil b plötzlich auf Aufgabe 1! Also in Aufgabe 1 musste man die Geschwindigkeit eines Steis berechnen der vom Himmer fällt (F= mg). Bitte entschuldigt das. Mit dem Gravitationsgesetz hat das hier NIX mehr zu tun!
Aufgabenteil b) ist jetzt: "Berechnen Sie mit Hilfe der Taylor-Entwicklung die Korrektur niedrigster Ordnung zur Aufprallgeschwindigkeit.
Meine Frage ist nun wie diese Taylorreihe aussehen soll. Laut dem Tutor ist mg der konstante Term. Im 1. Glied brauche ich aber eine Ableitung. Nach was soll ich g ableiten? |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 17. Mai 2011 12:35 Titel: |
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 )
ist ja von der Höhe abhängig. Deswegen muss das Ganze wohl so aussehen, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2011 16:39 Titel: |
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| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | Integrieren ja, aber dann gewinnt man nur eine Funktion für die Zeit t(r) von der man noch die Umkehrfunktion bilden muss. Eine analytische Umkehrfunktion gibts da aber nicht. |
Gebe ich zu, da hast du recht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2011 16:49 Titel: |
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Es wäre hilfreich, wenn du die gesamte Aufgabe hier reinstellen könntest.
Ich interpretiere das wie folgt.
Für sehr kleine Fallhöhen stellt eine konstante Gravitationskraft
eine gute Näherung dar.
Tatsächlich wissen wir aber, dass die Gravitationskraft gegeben ist durch
 = -\frac{GmM}{r^2})
Wertet man dies aus für r=R (R = Erdradius) so gilt
 = -\frac{GmM}{R^2} = -m\cdot\frac{GM}{R^2} = )
Der Vergleich mit mg liefert also den konstanten Term
D.h. die Erdbeschleunigung g ist gegeben durch die aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz folgende Näherung für konstantes r=R.
Der nächste Schritt wäre also eine lineare Näherung für "kleine" Höhen h, d.h. man definiert r=R+h, und demnach
 = -\frac{GmM}{(R+h)^2})
Für diese Funktion ist nun die linearen Näherung in dem kleinen Parameter h/R um h/R=0 gesucht; diese lautet dann
 = F_G(h=0) + h \cdot F^\prime(h=0) = g + h \cdot \ldots)
Deine Aufgabe ist es nun, "..." zu berechnen, die DGL für r(t) aufzustellen und zu lösen.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 17. Mai 2011 19:15 Titel: |
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| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | | Aufgabenteil b) ist jetzt: "Berechnen Sie mit Hilfe der Taylor-Entwicklung die Korrektur niedrigster Ordnung zur Aufprallgeschwindigkeit. |
Beim freien Fall im kugelsymmetrischen Gravitationsfeld wäre die Aufprallgeschwindigkeit
})
Ich kann mir nur schwer vorstellen, dass dafür eine Taylorentwicklung verlangt wird. Schreibe doch bitte mal die komplette Aufgabe hin, damit wir wissen, worum es tatsächlich geht. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 17. Mai 2011 21:22 Titel: |
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Die Aufgabe steht hier:
http://www.quantum.uni-freiburg.de/images/stories/course_material/tpII_ss11/Blatt2.pdf
Ich bin echt verzweifelt. Dachte ich liege mit meiner Lösung schon richtig und habe langsam keine Motivation mehr die Aufgabe nochmal zu machen...Ganz zu schweigen vom Rest des Blattes.
Sind Aufgaben in theoretische Physik eigentlich immer derartig schwer zu verstehen? Zur Info, bin Nebenfächler. Mein Hauptfach ist Informatik. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 17. Mai 2011 22:13 Titel: |
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bedeutet "nach v entwickeln" folgendes:
 - \frac{h'(v)}{1!}(v-a))
Der Tutor hat mir nämlich gesagt, dass das zu (x-a) proportional sein soll... Allerdings hat der auch gesagt, dass mg der konstante Term sei. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 17. Mai 2011 22:28 Titel: |
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| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | bedeutet "nach v entwickeln" folgendes:
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Nein, es bedeutet
 = h\left( 0 \right) + v \cdot \frac{{\partial h\left( 0 \right)}}{{\partial v}} + \frac{{v^2 }}{2} \cdot \frac{{\partial ^2 h\left( 0 \right)}}{{\partial v^2 }} + \ldots)
| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | | Der Tutor hat mir nämlich gesagt, dass das zu (x-a) proportional sein soll... Allerdings hat der auch gesagt, dass mg der konstante Term sei. |
Da gibt es weder einen linearen, noch einen konstanten Term. Das erste Glied der Entwicklung, das ja schon in Aufgabe 1 hergeleitet wird, ist bereits quadratisch und danach hat die Entwicklung noch weitere Lücken. |
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fuss
Anmeldungsdatum: 25.05.2010
Beiträge: 519
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| fuss Verfasst am: 23. Nov 2012 15:00 Titel: Re: Taylorreihe der Gravitationskraft |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: |
In drei Dimensionen sieht die zweite Ableitung so aus:
Daraus folgt für die dritte Ableitung
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Mal ne blöde Frage: Bei dir ist , y(t), z(t))^T) und dein  , ist das sowas wie der Dipolterm einer Multipolentwicklung oder tatsächlich die Zeitableitung von ?
Wenn letzteres, wie kommst du auf die Vorzeichen in der Klammer und auf das in der Klammer? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 23. Nov 2012 18:00 Titel: Re: Taylorreihe der Gravitationskraft |
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| fuss hat Folgendes geschrieben: | | Mal ne blöde Frage: Bei dir ist und dein , ist das sowas wie der Dipolterm einer Multipolentwicklung oder tatsächlich die Zeitableitung von ? |
Es ist die Zeitableitung, aber da steckt der Dipolterm der Multipolentwicklung drin (Kettenregel).
| fuss hat Folgendes geschrieben: | | Wenn letzteres, wie kommst du auf die Vorzeichen in der Klammer und auf das in der Klammer? |
Keine Ahnung, wie ich darauf gekommen bin. Die sind beide falsch. Wenn ich mich nicht wieder verrechnet habe, dann müsste es so richtig sein:
 \cdot \dot r)
(I = Einheitsmatrix)
So sieht man auch, wie sich die Zeitableitung aus der Ableitung nach dem Ort und der Ableitung des Ortes nach der Zeit zusammensetzt. |
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fuss
Anmeldungsdatum: 25.05.2010
Beiträge: 519
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| fuss Verfasst am: 23. Nov 2012 20:45 Titel: |
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Danke! Auf deinen Term komme ich auch. Und sorry fürs Ausgraben des Themas, aber ich habe das damals wegen der Verwirrung auf den ersten Seiten nicht verstanden (und deshalb im Browser mitgeschleppt), und vorhin war ich mir auch nicht ganz sicher, ob ich dein Vorgehen richtig verstehe. An sich hattest du ja bloß den einen Punkt nicht weggemacht und wahrscheinlich übersehen, dass vor der Klammer schon ein Minus steht. |
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