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hannah3442
Anmeldungsdatum: 21.11.2015
Beiträge: 4
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 hannah3442 Verfasst am: 21. Apr 2016 00:17 Titel: Auto in Kurvenfahrt auf überhöhter Fahrbahn |
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Folgende Aufgabe: Ein Auto der Masse  fährt mit der Geschwindigkeit  eine Kreisbahn mit Radius  . Nun verändern sich die Bodeneigenschaften, der Haftreibungskoeffizient verringert sich auf  und die Haftreibung reicht nicht mehr aus um das Auto auf der Kreisbahn zu halten. Um welchen Winkel  muss die Fahrbahn überhöht werden, damit das Auto für gegebene , , und die Kreisbahn beibehalten kann?
 http://i.imgur.com/EOauJIF.png (Siehe auch Anhang.)
Um die Aufgabe zu lösen, muss ich doch die Zentripetalkraft  durch existierende Kräfte darstellen können, oder? Welche Kräfte existieren also? Dazu hab ich mir überlegt, dass erstmal nur eine Gewichtskraft  existiert, die man dann durch zwei andere Vektoren ausdrücken kann, wobei einer davon orthogonal (normal) zur Fahrbahn verläuft:  . Diese Normalkraft bewirkt die Existenz einer zweiten Kraft  , der Haftreibungskraft der Fahrbahn auf das Auto.
Hier komme ich nicht weiter - falls das überhaupt bisher richtig war.
• Wie soll ich  geschickt aufteilen?
• In welche Richtung wirkt  ? Doch irgendwie "entgegen dem Rutschen" also den Hang hinauf?
Danke schon mal. 
| Beschreibung: |
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| Dateiname: |
Skizze.png |
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348 mal |
Zuletzt bearbeitet von hannah3442 am 25. Apr 2016 00:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Apr 2016 01:32 Titel: |
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Vielleicht erstmal die Skizze ergänzen mit dem Neigungswinkel alpha und den auftretenden Kräften: Gewicht - zerlegt nach Hangabtriebskraft und Normalkraft, dann die Zentrifugalkraft - bezogen auf den Hang; Berechnungsformeln dafür.
Was kann passieren?
Fall 1: Die Resultierende aus dem "Aufwärtsteil" der Zentrifugalkraft und der Hangabtriebskraft ist größer als null, schiebt also nach oben. Das geht solange gut, wie die der Bewegung nach oben entgegengerichtete Haftreibungskraft noch größer ist, also bis zu einem kritischen Winkel alpha1, wo der Wagen zu schnell wird.
Fall 2: Das gleiche Spiel nach unten, Haftreibungskraft nach oben, alpha2, wo der Wagen zu langsam ist.
God Save the Queen. 
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hannah3442
Anmeldungsdatum: 21.11.2015
Beiträge: 4
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| hannah3442 Verfasst am: 25. Apr 2016 00:29 Titel: |
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Danke für die Antwort. Ich war oben noch nicht ganz richtig mit meinen Annahmen. Hier meine Lösung:
• Die einzigen echten Kräfte, die am Auto wirken, sind:
1.) Gewichtskraft  des Autos.
2.) Die reactio-Kraft  zur Normalkraft des Autos auf die Bahn. wird also (von der Straße) auf das Auto ausgeübt.
3.) Reibungskraft  des Straßenbodens auf das Auto.
• Ansatz:
Die drei echten Kräfte müssen für eine Kreisbahn unter den Parametern (Masse des Autos), (Geschwindigkeit des Autos) und (Kurvenradius) die Zentripetalkraft bilden:  .
• Zu 1.)
Bekannt: 
• Zu 2.)
Ein Denkfehler von mir: Oft hat man dieses Beispiel, wo ein Körper eine schiefe Ebene herunterrutscht: Die Gewichtskraft teilt sich auf in Hangabtriebskraft und Normalkraft. Dabei sind Richtung der Hangabtriebskraft (nämlich parallel zum Hang) und Richtung der Normalkraft (nämlich orthogonal zum Hang) von vorne herein bekannt und damit auch deren Beträge. Im Gegensatz dazu ist in der aktuellen Aufgabe mit dem Auto zunächst nicht klar, in welche Kräfte sich die Gewichtskraft des Autos aufteilt: allein von der Normalkraft ist bekannt, dass sie orthogonal zum Hang verläuft - Betrag der Normalkraft und Richtung/Betrag der "anderen Kraft" (die Differenz zur Gewichtskraft) sind unbekannt.
Allerdings wissen wir in jedem Fall: Wie groß die Normalkraft  des Autos auf den Straßenboden auch immer ist - die reactio-Kraft des Bodens auf das Auto ist vom Betrag her gleich: 
• Zu 3.)
Das Auto soll sich während der Kurvenfahrt gerade an der Grenze zum Wegrutschen befinden, wir nutzen also
die Reibungskraft des Bodens auf die Räder des Autos maximal aus. Es gilt:  . Die Kraft zeigt dabei orthogonal zu und parallel zur Bahn den Hang hinunter.
• Zusammen:
Mit der bekannten Formel  und dem Aufteilen der einzelnen Kräfte in ihre Komponenten der x- respektive y-Achsen-Richtung ergibt sich:
 \left | \overrightarrow{F_R} \right |}{- sin( \alpha ) \left | \overrightarrow{F_R} \right |} + \binom{- sin( \alpha ) \left | \overrightarrow{F_{N,reactio}} \right |}{cos( \alpha ) \left | \overrightarrow{F_{N,reactio}} \right |})
 \mu \left | \overrightarrow{F_{N,actio}} \right |}{- sin( \alpha ) \mu \left | \overrightarrow{F_{N,actio}} \right |} + \binom{- sin( \alpha ) \left | \overrightarrow{F_{N,actio}} \right |}{cos( \alpha ) \left | \overrightarrow{F_{N,actio}} \right |})
 + \mu cos( \alpha )\right )}{-mg + \left | \overrightarrow{F_{N,actio}} \right | \left ( cos( \alpha ) - \mu sin( \alpha ) \right )})
Zwei Gleichungen und zwei Unbekannte ( und der gesuchte Winkel ) ergibt:
 = \frac{v^2 - \mu g r}{\mu v^2 + gr})
Für dieses bleibt das Auto bei maximal genutzter Reibungskraft in der Kurve. Für kleinere verlässt es die Kreisbahn nach außen. Für größere verringert sich zunächst die genutzte Reibungskraft - bis schließlich für ein bestimmtes  gar keine Reibungskraft mehr genutzt wird. Für Winkel größer nimmt dann zunächst die Reibungskraft wieder zu (allerdings in entgegengesetzter Richtung) bis das Auto irgendwann die Kreisbahn nach innen verlässt und den Hang hinunterrutscht, sobald die maximale Reibungskraft nicht mehr ausreicht.
Vielleicht hilft meine ausführliche Antwort ja jemandem, der gerade die gleichen Denkfehler macht wie ich und dann diesen Eintrag im Forum findet.
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