Kanonische Transformation: Erzeugende

jojo_ · Gast

Wie bestimme bzw finde ich eine erzeugende Funktion? Gibt es da ein Schema nach dem man vorgeht?
Meistens sind ja die Erzeugenden vorgegeben und mit denen kann man die neue Hamilton-Funktion bestimmen, aber woher kommt diese?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Was ist denn eine kanonische Transformation? Eine kanonische Transformation ist eine Transformation des Phasenraums

, die die Flächenelemente

invariant läßt (wenn man es mathematisch machen möchte, benutzt man Differentialformen

).

Daraus folgt, daß

für eine Funktion F. Etwaige andere Transformationsregeln kommen daher, daß man die Produktregel ausnutzt. Dieses F ist also im Prinzip schon Deine kanonische Transformation.

Das heißt: Alles, was Du zu tun hast, ist

mit

zu vergleichen.

Wichtig: Ich setze hier voraus, daß die kanonische Transformation zeitunabhängig ist, d.h. insbesondere, daß die neue Hamilton-Funktion einfach durch Substitution aus der alten hervorgeht. Etwas technischer (obwohl prinzipiell genauso) wird es, wenn man zeitabhängige Transformationen zuläßt. Bevor man darüber spricht, wie es bei einer zeitabhängigen Transformation geht, sollte man sich aber erstmal klarwerden, was eine zeitabhängige Transformation ist: eine Transformation des erweiterten Phasenraums, der eine zusätzliche Koordinate t und einen zusätzlichen Impuls -E hat; und alles funktioniert genauso, wenn man diese entsprechenden Terme hinzufügt und anschließend H mit E identifiziert.

Anmerkung: So ganz richtig ist die Definition hier nicht, denn eine einfache Vertauschung von q und p ist bekanntlich keine kanonische Transformation, fällt aber hierunter. Ich weiß nicht, wie man es ohne Differentialformen richtig definiert. Die Definition hier vermittelt aber wohl keinen allzu falschen Eindruck, wenn man "Flächenelemente" als "orientierte Flächenelemente" versteht.

jojo_ · Gast

Als Beispiel hab ich hier mal den harmonischen Oszillator

jetzt steht im Nolting das für F_1 gewählt wird

q' ist das neue q
Da ist keine Erklärung bei woher das kommt, auf einmal ist da die Erzeugende und ich kann das überhaupt nicht nachvollziehen wie man darauf kommt unglücklich

Damit zu rechnen ist ja leicht, da gibt es auch genug Aufgaben in denen die gegeben ist, nur verstehe ich nicht wirklich woher

Arra · Anmeldungsdatum: 11.12.2015 Beiträge: 1

Das würde mich ebenfalls interessieren. Unser Prof meinte dazu: "Das ist im wesentlichen 'black magic'". Also wird es wahrscheinlich kein allgemeines Verfahren geben. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass man die Erzeugenden blind raten muss, also sollte es zumindest irgendwelche Anhaltspunkte geben.

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577