Unter welchen Umständen rollt angestoßene Kugel

Hans² · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 9

Kurz was zu mir, es ist ja immerhin mein erster Beitrag: Physikstudent im ersten Semester, der kein Physik in der Schule hatte.
Es geht um eine Kugel, die parallel zum Boden in der Höhe

mit dem Impuls

angestoßen wird. Gesucht ist nun die Höhe, für die die Kugel unter allen Umständen rollt und nicht gleitet.
Da dachte ich für die Lösung an:

II ausgeschrieben ergibt:

mit

ergibt sich

Die Rollbedingung

nun quadriert

für

eingesetzt macht:

vereinfacht:

und noch weiter:

Massen rausgekürzt und g rüber nach rechts ergibt für mich:

Was auch in den Dimensionen stimmt. Nur finde ich das Ergebnis sehr nichtsaussagend und mich verwundert es, dass Reibung völlig unwesentlich ist für das Ergebnis. Ich wäre über die Meinung von euch Profis sehr erfreut Big Laugh

.

Mfg

Duncan · Gast

Impulssatz: Änderung des Impulses = Kraft.
Anfangsimpuls = 0
Nach dem Stoß: m*v1 = F

Drallsatz: J*omega = Drehmoment
J = 2/5*m*R
Drehmoment = F*h
h ist Abstand des Kraftstoßes vom Boden.

Aus beiden Gleichungen F berechnen und gleichsetzen.

v1 = omega_1 * R Rollbedingung einsetzen.

ergibt h = 2/5*R

Nach einem Stoß in Höhe h bewegt sich der Schwerpunkt der Kugel mit v1 und die Kugel dreht sich mit omega_1.

Hans² · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 9

Interessant, denn du gehst davon aus, in welcher Höhe man die Kugel anstößt, während ich davon ausgehe, dass die Kugel zu Beginn über dem Boden ist.
Meine Kugel fliegt erst durch die Luft, deine liegt schon auf dem Boden.

Deine Relation von

gefällt mir aber gut, denn diese trat bei vielen Aufgaben schon einmal auf.

Duncan · Gast

Die Höhe h wird vom tiefsten Punkt der Kugel bis zur Höhe des Kraftstoßes gemessen.
Die Tatsache, dass deine Kugel noch durch die Luft fliegt bevor sie auf dem Tisch aufschlägt, ändert doch nichts.
Während des Fluges dreht sie immer noch konstant und ihr Schwerpunkt bewegt sich in Richtung parallel zur Tischfläche ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit. Beim Aufschlag herrscht also immer noch perfekte Rollbedingung.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich glaube, zu h musst Du noch einmal R addieren. Das bisher ist die Höhe über dem Mittelpunkt der Kugel, gefragt War aber die Höhe über dem Boden.

Gruß
Marco

Duncan · Gast

@as_string,
na klar! Da hab ich Unsinn geschrieben.
Das fängt schon bei der Berechnung des Drehmoments an:
F*h ... h ist dabei der Abstand zum Schwerpunkt.

Ich hatte gedankenlos das h von Hans übernommen.

Also Stoßhöhe = R + 2/5*R = 7/5*R vom tiefsten Punkt der Kugel gemessen.

Danke an as_string.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

Ich hab mir die Posts jetzt mal noch etwas genauer angeschaut. Da geht ja so einiges durcheinander...

ist nicht das Drehmoment, sondern der Drehimpuls
Das Trägheitsmoment J ist nicht 2/5 mR, sondern 2/5 mR² bei einer Vollkugel.
Das Drehmoment F·h gibt es in dieser Aufgabe eigentlich gar nicht, weil die anders gemeint ist. Wenn Du aber von so einem Drehmoment ausgehen wolltest, dann müsstest Du auch im Trägheitsmoment vom Momentanmoment ausgehen und dann die Rotationsachse mithilfe Steiner auf den Berührungspunkt zwischen Kugel und Boden legen.

Dass trotzdem (mehr oder weniger...) das richtige Ergebnis raus kommt, eben bis auf einmal R, ist dann schon eher Zufall...

Also, die Aufgabe ist so gemeint:

Die Kugel liegt zuerst auf einer Fläche, die sehr glatt und rutschig ist. Nehmen wir an, der Reibungskoeffizient geht gegen 0. Trotzdem kann man die Kugel in einer bestimmten Höhe "anstoßen" (gemeint ist ein waagerechter Kraftstoß, so dass ein definierter Impuls p in waagerechter Richtung eingebracht wird), derart dass sich die Kugel so weiter bewegt, dass die Rollbedingung erfüllt ist, also der Berührpunkt der Kugel mit der Auflage im ersten Moment noch in Ruhe ist.
Man könnte den Versuch auch ganz ohne Unterlage in der Schwerelosigkeit machen. Also eine Kugel schwebt frei und erfährt (wie auch immer...) einen entsprechenden Kraftstoß.
Den Stoß könnte man vielleicht realisieren, indem man eine Masse mit einem Impuls waagerecht auf die Kugel zufliegen lässt und dort auch wieder waagerecht abprallen lässt (wie auch immer das gehen soll, da müsste die Kugel an dieser Stelle ja eine Art Kerbe haben oder so, sonst würde der Impulsstoß nicht waagerecht sein können).

Um die Bewegung eines Körpers nach einem solchen Stoß berechnen zu können, muss man Impuls- und Drehimpulserhaltung anwenden.

Wenn man ein Koordinatensystem verwendet, dessen Ursprung im Mittelpunkt der Kugel liegt, dann ist der Impuls und Drehimpuls(-betrag) nach dem Stoß bzw wenn die Kugel schon rollt:

Der Impuls des Stoßes ist ja schon gegeben, aber der Drehimpulsbetrag vor dem Stoß ist:

Wobei r hier der senkrechte Abstand zwischen Stoß und Kugelmittelpunkt ist, während R der Kugelradius ist.

Wenn man die beiden Drehimpulse gleich setzt und p entsprechend mit dem p der Kugel nach dem Stoß ersetzt, dann kommt man auf:

Wie man sieht, fällt da omega, m und ein R raus, also hat man noch:

Allerdings muss man eben noch verwenden, dass:

ist und kommt dann auf:

Gruß
Marco

Edit: @Duncan: Dein Post hatte ich noch nicht gesehen... Hab wohl zu lange an diesem geschrieben...

Hans² · Anmeldungsdatum: 13.11.2015 Beiträge: 9

Wenn die Kugel erstmal in meinem Kopf auf dem Boden liegt, ist das ganze gar nicht so schwer. Das ganze schließe ich jetzt noch mal von meiner Seite ab:

Der Stoß

findet im Abstand

senkrecht zum Mittelpunkt der Kugel statt und erzeugt das Drehmoment

.

Das Moment errechnet sich aus

, mit

Die Rollbedingung

abgeleitet ergibt die Gleichung, die ich lösen kann:

Mit

und

ergibt sich für eine Kugel mit

Die Höhe über dem Tisch ist nun schließlich

Frage am Rand: Die Sprache, die man bei Latex verwendet, funktioniert die genauso wie hier?

MfG