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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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 Amateurphysiker Verfasst am: 13. Nov 2015 17:41 Titel: Newtonsche Reibung (Fallschirmspringer) |
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Hi, ich sitze gerade an einem Problem, wo ich irgendwie nicht weiterkomme und wäre für eine kleine Hilfestellung sehr verbunden!
Es geht um einen Fallschirmspringer, der im freien Fall nach unten fliegt (v(0)=0). Die Luftreibung hat Newtonschen Charakter mit einem Luftreibungskoeffizient k.
Aufgaben:
a) Ich soll die Bewegungsgleichung aufstellen und diese lösen.
b) Bahnkurve skizzieren und Geschw. berechnen für  .
c) Wie tief fällt Fallschirmspringer, bevor er 90% seiner Endgeschw. erreicht hat?
Mein Ansatz:
a) Als Bewegungsgleichung habe ich: 
Nun ist mir leider nicht ganz klar was mit "Lösung der Bewegungsgleichung" genau gemeint ist. Das ganze Thema Bewegungsgleichungen ist für mich völlig neu. Was will ich denn am Ende dastehen haben? Ist die Frage für welches v(t) diese Gleichung erfüllt ist?
Vielen Dank im Voraus! |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 13. Nov 2015 18:13 Titel: |
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Hallo,
zunächst ist die Bewegungsgleichung noch nicht ganz korrekt.
Wenn man die vertikale Koordinate nach unten positiv annimmt, dann wirkt die Gewichtskraft m*g in positiver Richtung nach unten. Die Luftreibung wirkt der Bewegung entgegen, also -k*v^2. Beide Kräfte zusammen in F=m*a eingesetzt ergibt die Bewegungsgleichung:
Das ist eine nichtlineare Differenzialgleichung erster Ordnung.
Man löst sie durch Trennung der Variablen.
Sagt Dir dieses Verfahren etwas?
Wenn Du Hilfe dabei brauchst, melde Dich.
Gruß
EDIT: genau, die Lösung der Differenzialgleichung ist eine Funktion v(t), welche die DGL erfüllt. |
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 14. Nov 2015 16:21 Titel: |
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Hi,
vielen Dank für deine Antwort!
Wir haben Variablentrennung angewendet, aber es wurde leider nicht wirklich erklärt. Ich hab es jetzt mal nachgelesen.
Ich hab meine Lösung als JPG hochgeladen, kannst du es dir mal anschauen ob das so stimmt? Kann es sein, dass v(t) auf beiden Seiten auftaucht oder ist das falsch? (Auf der rechten Seite steht es noch im Exponenten).
Und bzgl. der b): Falls das Ergebnis aus a) stimmt, dann würde das ja bedeuten, dass v(t) gegen unendlich geht, da das t im Exponenten gegen unendlich geht, stimmt das?
Vielen Dank nochmal! |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 14. Nov 2015 23:11 Titel: |
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Hi,
Du kannst bei der Substitution nicht einfach ein v vor das Integral ziehen. Das v ist keine Konstante. Ausserdem musst Du ja nach der Substitution die alte Variable v vollständig durch die neue Variable u ersetzt haben.
teile doch erst mal durch m und schreibe die DGL so um:
Dann versuche mal das Integral in die Form
zu bringen. Die Lösung dieses Integrals ist dann artanh(x)
Die Endgeschwindigkeit kannst Du übrigens auch ohne Lösung der DGL ganz einfach berechnen. Bei Erreichen der Endgeschwindigkeit ist die Beschleunigung ja Null. Also setze die Beiden Kräfte m*g und k*v^2 gleich und löse nach v auf.
Gruß |
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 15. Nov 2015 13:53 Titel: |
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Nochmal vielen Dank für das Feedback!
Bzgl. Substitution: Heisst das grundsätzlich, dass Integration durch Substitution nicht angewendet werden kann, wenn die Ableitung der Substitutionsvariable (hier u) nach der der ursprünglichen Variable (hier v) immernoch von der ursprünglichen Variable abhängt?
Ich hab meine neue Rechnung wieder hochgeladen. Passt das so?
Bzgl. b)
Du sagst bei Endgeschwindigkeit ist Beschleunigung 0, aber woher wissen wir, dass für  die Beschleunigung 0 ist? Könnte es nicht theoretische immer weiter beschleunigen (abgesehen davon, dass der Springer in dem Fall auf die Erde zufliegt)?
Falls die a) stimmt müsste für   sein, da =-1) , stimmt das?
Danke!! |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Nov 2015 14:52 Titel: |
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Hallo,
habe vielleicht heute Abend Zeit, mir Deine Rechnung im Detail anzuschauen.
Nur soviel vorweg:
Die Endgeschwindigkeit passt noch nicht ganz (mit einer Kontrolle der Dimensionen hättest Du es merken können). Die Endgeschwindigkeit muss doch sein:
Und warum machst Du dir das Leben unnötig schwer? V(0)=0 steht doch schon in der Aufgabenstellung. Ich würde auch die positive Koordinate nach unten zählen. Ist doch etwas ungewöhnlich, wenn man sagt: nach -50m hat der Fallschirmspringer eine Geschwindigkeit von -180 km/h (nur als Beispiel). Aber wie man das Koordinatensystem legt ist natürlich Geschmacksache.
Also heute Abend vielleicht mehr.
Gruß |
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 15. Nov 2015 21:09 Titel: |
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Hi,
ja klar! Hab das glaub ich falsch abgetippt.. sorry, aber aus meinem v(t) geht das so hervor wie du sagst...
Ok, ich hoffe mal das müsste jetzt passen. Werds morgen früh abgeben.
Vielen Dank für deine Hilfe!
P.S. Falls du noch dazu kommst, vlt. kannst du noch kurz auf meine vorige Frage bzgl. Integration durch Substitution antworten.. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Nov 2015 21:38 Titel: |
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Hallo,
so, jetzt noch mal ein bisschen ausführlicher:
| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Bzgl. Substitution: Heisst das grundsätzlich, dass Integration durch Substitution nicht angewendet werden kann, wenn die Ableitung der Substitutionsvariable (hier u) nach der der ursprünglichen Variable (hier v) immernoch von der ursprünglichen Variable abhängt?
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Nein, aber der Integrand sollte dann diese Ableitung bereits enthalten. Eine fehlende Konstnate kann man noch retten, in dem man den Kehrwert dieser vor das Integral zieht. Nach der Substitution darf auf jeden Fall die alte Variable nicht mehr vorkommen.
| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Ich hab meine neue Rechnung wieder hochgeladen. Passt das so?
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Das passt schon ziemlich gut. Die letzte Umformung kannst Du so nicht machen, da Du ja eine Summe aus artanh hast. Da allerdings lt. Aufgabenstellung v(0)=0 ist, brauchst Du ja auch nur von 0 bis v(t) zu integrieren. Beim Integrieren hättest Du aber eine Substitution verwenden müssen. Du hast das (richtige) Ergegnis direkt hingeschrieben, ohne diesen Schritt zu zeigen.
Das Argument im tanh lässt sich dann noch umformen:
und mit  wird daraus schlicht:
Damit wäre die Lösung der DGL dann:
 = v_{E} \cdot tanh(\frac{g \cdot t}{v_{E}}) )
| Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben: |
Bzgl. b)
Du sagst bei Endgeschwindigkeit ist Beschleunigung 0, aber woher wissen wir, dass für die Beschleunigung 0 ist? Könnte es nicht theoretische immer weiter beschleunigen (abgesehen davon, dass der Springer in dem Fall auf die Erde zufliegt)?
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Na, würdest Du denn eher erwarten, dass es eine konstante Endgeschwindigkeit gibt, oder dass die Geschwindigkeit ins Unendliche steigt?
Auf den Fallschirmspringer wirken zwei Kräfte: Die als konstant angenommene Kraft m*g wirkt vertikal nach unten und beschleunigt den Fallschirmspringer. Die Luftreibung, welche dem entgegenwirkt steigt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit an. Beide Kräfte werden also zwangsläufig bei einer bestimmten Geschwindigkeit gleich groß sein, und sich gegenseitig aufheben. Ab diesem Zeitpunkt an bleibt die Geschwindigkeit konstant.
Gruß
EDiT: unsere Beiträge haben sich überschnitten (hab an meinem ein bisschen länger getippt) |
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Amateurphysiker
Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307
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| Amateurphysiker Verfasst am: 16. Nov 2015 12:34 Titel: |
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, ich schau es mir gleich nochmal an! |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 18. Nov 2015 20:52 Titel: |
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Hallo,
Ich denke mal, die Aufgabe ist mittlerweile abgegeben, und sie war ja auch korrekt gelöst. Da sich Lösung der DGL aber in einem externen Link befindet, fasse ich sie hier für die Zukunft noch mal zusammen:
Die Differentialgleichung für den freien Fall mit newtonscher Luftreibung lautet:
Dies ist eine nichtlineare DGL 1. Grades.
Beide Seiten durch die Masse m geteilt wird daraus:
Die Endgeschwindigkeit, welche der fallende Körper erreicht, kann bereits jetzt leicht angegeben werden. Dazu wird die Beschleunigung gleich Null gesetzt, und nach v aufgelöst:
Die Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden. Dazu wird  als Differentialquotient geschrieben:
Die Variablen werden getrennt, und beide Seiten der Gleichung integriert:
Das g im Nenner auf der linken Seite kann ausgeklammert, und auf die rechte Seite gebracht werden:
Nun erkennt man, dass im Nenner auf der linken Seite  steht. Das ist aber genau  :
 ^{2}} \, \dd v=g\cdot \int \! \dd t )
Jetzt kann man für das Integral auf der linken Seite eine Substitution probieren:
Damit lässt sich das Integral wie folgt schreiben:
Aus einer Integraltafel kann man die Lösung des Integrals entnehmen:
 =g \cdot t+c )
Es reicht, auf einer Seite eine Integrationskonstante zu berücksichtigen.
Nun kann nach v(t) aufgelöst werden:
 =v_{E}\cdot \tanh \left( \dfrac {g}{v_{E}}\cdot t+\dfrac {c}{v_{E}}\right) )
Die Integrationskonstante c lässt sich durch die Anfangsbedingung ermitteln.
Ist die Anfangsgeschwindingkeit = Null, gilt ja:
 =0 )
Damit muss auch c = Null sein, und die Lösung der DGL vereinfacht sich zu:
 =v_{E}\cdot \tanh \left( \dfrac {g}{v_{E}}\cdot t\right) )
Das Ergebnis ist plausibel: Setzt man t = 0 ein, ist die Geschwindigkeit Null (wie in der Anfangsbedingung gefordert). Für t => unendlich strebt v gegen die Endgeschwindigkeit, da der tanh gegen 1 strebt.
Gruß |
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