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Allgemeine Lösung Newtonsche Bewegungsgleichung Energieerhal
 
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verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 13:04    Titel: Allgemeine Lösung Newtonsche Bewegungsgleichung Energieerhal Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Fragestellung:

Ein punktförmiges Teilchen der Masse m=2kg bewege sich in einer Dimension unter dem Einfluss der Kraft

.

(a) Stellen sie die Kraft F durch ein Potential V(x) mit V(0)=0 dar. Skizzieren sie V(x).

(b) Geben Sie ausgehend vom Konzept der Energieerhaltung die allgemeine Lösung der newtonschen Bewegungsgleichung in Form eines Integrals an. Bestimmen Sie nun für den Spezialfall E=0 die nichttriviale Lösung.



Meine Ideen:
Die Aufgabe a konnte ich problemlos lösen.. nur bei der b hab ich keine Ahnung wie ich auf die allgemeine Lösung der newtonschen Bewegungsgleichung komme..

Wie stelle ich denn die allgemeine Bewegungsgleichung auf?
Ich kann die von einem harmonischen ungedämpften Oszillator aufstellen aber diese irgendiwe nicht..

Ich würde vielleicht:



schreiben aber das hat ja nicht viel mit Energieerhaltung zu tun..



EDIT: Was natürlich der Fall ist, ist dass ich eine kinetische Energie habe die natürlich ist..
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Aug 2014 13:23    Titel: Antworten mit Zitat

Die Idee hinter der Energieerhaltung ist die Reduktion der Bewegungsgleichung zweiter Ordnung auf eine DGL erster Ordnung. Du schreibst



sowie



Die Terme in E sind nicht explizit zeitabhängig, d.h. E = const. entlang einer Lösung x(t). Du führst nun eine Trennung der Variablen durch, d.h. du formst die Gleichung E = ... um zu



In der Funktion f(x) ist dein Potential V(x) sowie E als Parameter enthalten.

Anschließend kannst du beide Seiten separat integrieren, d.h.



Dieses Integral ist zu lösen sowie anschließend von t(x) nach x(t) aufzulösen. Außerdem must du die Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 13:48    Titel: Antworten mit Zitat

Also habe ich dann:



bzw:

und demnach:

ist das bis hierhin schonmal richtig so?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Aug 2014 13:52    Titel: Antworten mit Zitat

ja, passt
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verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 13:59    Titel: Antworten mit Zitat

setze ich denn jetzt auch V(x) in die Gleichung ein? Das sollte ich ja in der Aufgabe davor bestimmen grübelnd
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Aug 2014 14:00    Titel: Antworten mit Zitat

Klar, jetzt musst du V( x) einsetzen
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verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 14:06    Titel: Antworten mit Zitat

kurzer check noch:

ich habe V(x) wie folgt bestimmt:




ist das soweit korrekt? ich hab eig eine Thilde über dem x aber ich weiß nicht wie das mit LaTex funktioniert Big Laugh
verlorenerPhysiker



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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 14:41    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
Also habe ich dann:




ist falsch.. es muss lauten:

-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
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Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 14:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

zum einen musst du auf deine Vorzeichen achten. Definitionsgemäß ist ja:



Also hier:



Damit



Für die übliche Wahl , also



Also "minus". Ansonsten ist dein Integral (Potential) fast richtig - der Vorfaktor vor der Wurzel stimmt m.E. nicht.
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 15:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ja stimmt Hammer

dann hab ich jetzt folgendes:



Da E ja konstant ist, kann ich E einfach als Variable betrachten..

Nur wie löse ich am besten das Integral? Mich stört die Wurzel im Nenner, sonst könnte ich vll den arcsin verwenden..
Allerdings steht in der Aufgabe, dass ich es in Form eines Integrals angeben soll.. muss ich es demnach lösen? grübelnd
-Christian-



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Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 15:13    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
Ja stimmt Hammer

dann hab ich jetzt folgendes:



Da E ja konstant ist, kann ich E einfach als Variable betrachten..


Dein jetzt angegebenes Potential stimmt immer noch nicht. Mach doch mal die Probe, und leite dein gefundenes nach ab - kommst du dann wieder auf

Zitat:

Nur wie löse ich am besten das Integral? Mich stört die Wurzel im Nenner, sonst könnte ich vll den arcsin verwenden..
Allerdings steht in der Aufgabe, dass ich es in Form eines Integrals angeben soll.. muss ich es demnach lösen? grübelnd


Zunächst: Was steht denn über die Konstante "E" in der Aufgabenstellung? Was sollst du annehmen? Augenzwinkern
verlorenerPhysiker



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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 15:18    Titel: Antworten mit Zitat

ohje,.. es ist noch schwer den Kehrwert des Exponenten zu bilden und mit dem Vorfaktor zu multiplizieren Hammer

Okay dann habe ich anstelle von -32 als Konstante -16 .. dann passt es auch beim differenzieren wieder..

Ich soll annehmen, dass E=0 ist.. gut.. dann fällt mein E in der Wurzel des Nenners weg, aber dadurch kann ich das Integral immer noch nicht so einfach lösen..
-Christian-



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Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 15:32    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
ohje,.. es ist noch schwer den Kehrwert des Exponenten zu bilden und mit dem Vorfaktor zu multiplizieren Hammer

Okay dann habe ich anstelle von -32 als Konstante -16 .. dann passt es auch beim differenzieren wieder..

Ich soll annehmen, dass E=0 ist.. gut.. dann fällt mein E in der Wurzel des Nenners weg, aber dadurch kann ich das Integral immer noch nicht so einfach lösen..


Genau, das Potential ist also:



Bei dem gegebenen Integral muss ich für den Moment auch passen. Da fällt mir auf die schnelle keine gescheite Substitution ein. grübelnd
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 15:35    Titel: Antworten mit Zitat

Auf dem Blatt steht noch als Hinweis:



aber ich habe ja noch eine zusätzliiche Wurzel in der Wurzel... deswegen geht das sicherlich nicht.. und Wolfram spuckt mir auch keine Lösung aus.. grübelnd



EDIT: außerdem genügt es nur die positiven x-Werte zu betrachten... das hilft mir jetzt aber auch nicht weiter Hilfe
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 15:44    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
Auf dem Blatt steht noch als Hinweis:



aber ich habe ja noch eine zusätzliiche Wurzel in der Wurzel... deswegen geht das sicherlich nicht.. und Wolfram spuckt mir auch keine Lösung aus.. grübelnd



EDIT: außerdem genügt es nur die positiven x-Werte zu betrachten... das hilft mir jetzt aber auch nicht weiter Hilfe


Ahja, ich glaube damit geht es. Muss meine Rechnung nochmal überprüfen, aber das kannst du ja parallel auch mal tun: Klammere mal aus und zieh es aus der Wurzel raus. Dann steht da:



Und dann die Substitution anwenden. Dann kommt man, wenn ich mich nicht verrechnet habe, genau auf das Integral im Hinweis.


Zuletzt bearbeitet von -Christian- am 17. Aug 2014 15:49, insgesamt 2-mal bearbeitet
verlorenerPhysiker



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Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 15:46    Titel: Antworten mit Zitat

leider ist da in der antwort was schief gegangen mit latex...
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
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Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 15:48    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, hab's korrigiert!
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 16:02    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich hab dann jetzt:



bzw.



wobei ich nicht weiß wie ich mit LaTex die vierte Wurzel schreibe (das Argument im arcsin soll die vierte Wurzel sein)... und ich nicht weiß wie ich meine Integrationsgrenzen am integrierten Ausdruck anbringe...

das war ne sehr gute Idee... interessant das kein Online-Integralrechner und auch Wolframalpha nicht drauf gekommen ist.. Big Laugh
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 16:04    Titel: Antworten mit Zitat

och ne.. ich darf ja kein x aus dem im integral ziehen.. wie dumm von mir.. sorry Hammer
-Christian-



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Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
Also ich hab dann jetzt:



bzw.




Moment, erstmal musst du die Substitution richtig ausführen. Du hast vergessen das im Integral richtig zu ersetzen und damit fehlt dir noch ein entscheidender Faktor. Augenzwinkern
Außerdem ist auch beim Ausklammern von aus der Wurzel etwas schief gelaufen.

Edit:
verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
och ne.. ich darf ja kein x aus dem im integral ziehen.. wie dumm von mir.. sorry Hammer

Ganz genau - deswegen Substitution richtig machen, dann gibt es nichts mehr zum rausziehen. Augenzwinkern
verlorenerPhysiker



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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

okay stimmt.. der Ausdruck im Nenner kürzt sich weg und dadurch habe ich quasi nur noch nen Faktor 1/4 zusätzlich in meinem eben geschriebenen Integral, den ich ja einfach rausziehen kann und damit musste ich mein Ergebnis nur noch um den Faktor 1/4 korregieren..

bin ich damit jetzt endlich fertig? ..


EDIT: Oh, und ich hab ein negatives Vorzeichen Augenzwinkern
-Christian-



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Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 16:26    Titel: Antworten mit Zitat

Kommt drauf an ... was ist denn nun deine Ortskurve? Also welches Ergebnis hast du für x(t)?
verlorenerPhysiker



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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 16:32    Titel: Antworten mit Zitat

keine Ahnung.. bisher keins würd ich sagen...
steh grade nach dem schwierigen Integral doch sehr auf dem Schlauch
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 16:35    Titel: Antworten mit Zitat

Dann bist du auch noch nicht fertig. Augenzwinkern

Du hast jetzt eine Funktion dastehen. Du weißt und willst haben. Also: Rücksubstitution und umstellen nach .
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
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Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 16:51    Titel: Antworten mit Zitat

ich hab ja das integral von .. also lass ich den einen Ausdruck in Ruhe ... dann habe ich:



(Immer noch im arcsin die vierte Wurzel)

Und dann hab ich:
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 17:13    Titel: Antworten mit Zitat

Der Faktor nach dem Integrieren ist noch falsch. Du hast doch durch die Substitution von :




Also durch "Umstellen nach dx" (auch wenn die Mathematiker das nicht gern so lesen):



Wenn du das ins Integral nach dem Ausklammern von einsetzt, dann hast du zunächst mal:



Und da kürzt sich dann doch das raus. Ein "Minus" steht dann auch nirgends vor dem Integral. Einverstanden? Augenzwinkern

Dann hast du also als Ergebnis der Integration dastehen (wenn man von bis z integriert):



Und dann stellst du noch um und bist fertig.


Zuletzt bearbeitet von -Christian- am 17. Aug 2014 17:26, insgesamt einmal bearbeitet
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 17:25    Titel: Antworten mit Zitat

den Vorfaktor hast du jetzt einfach weggelassen?
Aber ja okay.. das macht Sinn.. da ist wohl was schief gegangen..

Vielen lieben Dank für die Hilfe! Thumbs up!
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Den Vorfaktor hatte ich im letzten Ausdruck vergessen - habe es gleich mal im Posting korrigiert. Augenzwinkern

Zitat:
Vielen lieben Dank für die Hilfe! Thumbs up!


Bitte, gern!
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 17. Aug 2014 17:51    Titel: Antworten mit Zitat

Läuft das in der Frage ganz oben auf eine Art Schwingung hinaus?
grübelnd
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, genau. Eben mit . Ist auch ganz einsichtig, wenn man sich das Potential mal zeichnet/zeichnen lässt.
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