Seil mit belasteter Rolle

Casimyr · Anmeldungsdatum: 26.05.2004 Beiträge: 7

Hallo!

Suche einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Ein Seil der Länge 15m ist an den Stellen A und B befestigt. Auf das Seil wird eine mit der Gewichtskraft F_g=700N belastete Rolle gesetzt. Welche Gleichgewichtslage (x = ?) stellt sich ein?

Ich habe schon mit dem Satz des Pythagoras rumgespielt, aber kein sinnvolles Ergebnis herausbekommen. Ich sehe auch keine andere Möglichkeit die 15m zu benutzen.

Hat jemand einen Ansatz für mich?

Skizze:

http://www.bako-schmiedekunst.de/casimyr/seil.gif

Casimyr

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dein Ansatz mit Pythagoras ist gut.

Ich bezeichne mal den anderen Endpunkt der Strecke x mit C, und den Punkt unten an der Rolle mit R. Den Abstand zwischen C und R nenne ich h.
Den Abstand zwischen A und R nenne ich l_1, den zwischen B und R l_2.

Dann hast du im linken Dreieck (Dreieck ACR):

x^2 + h^2 = l_1^2

und im rechten Dreieck (BR und Punkt oberhalb von C):

(h+ 2m)^2 + (8m-x)^2 = (15m-l_1)^2

Eine dritte Gleichung bekommst du,
wenn du verwendest, dass die beiden Winkel unten an der Rolle gleich groß sein müssen.

Dann siehst du z.B., dass: x/h = (8m-2x)/2m
(Dreieck ACR links und das kleine Dreieck rechts oben)

Dann hast du drei Gleichungen für drei Unbekannte, die du lösen kannst.
Am machbarsten scheint mir das zu sein, wenn du zuerst die dritte Gleichung nach h auflöst und in (1) und (2) einsetzt.

Dann sollte es nur noch ein bisschen Rechnerei sein.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Wahrscheinlich ist das von dermarkus die einfachere Variante. Die setzt aber voraus, dass Du schon weißt, dass die Winkel unten an der Rolle gleich sein müssen. Das kann man sich sicher mit Symmetrie Überlegungen klar machen, aber man könnte auch erstmal naiv ohne das vorgehen.
Dazu habe ich mal die Seillänge von A zur Rolle a genannt und von der Rolle zu B habe ich b genannt. Aus der Geometrie ist dann klar, dass die Gesamtseillänge das hier sein muß:
(I)

Außerdem kann man zweimal den Pyth. anwenden:
(II)

(III)

Aus (I) und (III) gewinnt man dann:

Wenn Du jetzt noch mit (II) das a durch h und x ersetzt, hast Du eine Gleichung, in der nur noch x und h vorkommt. Wenn Du die nach h auflöst, hast Du eine Funktion h(x). Davon suchen wir einen Extrempunkt. Dummerweise ist h jetzt größer, wenn die Rolle weiter unten liegt, also geht meine Höhe jetzt in negative Richtung. Normalerweise sucht man ja die minimale Höhe, bei meinen Koordinaten müßte man jetzt aber nach der maximalen suchen.
Aber egal wie, man muß dieses h(x) auf jeden Fall noch nach x ableiten und davon die Nullstellen finden. Das ist wohl etwas Rechenaufwand, weshalb ich das auch nicht mehr zu Ende gemacht habe, aber man sollte auf jeden Fall ein x bekommen, das dem x von dermarkus entspricht.

Gruß
Marco

Casimyr · Anmeldungsdatum: 26.05.2004 Beiträge: 7

Danke für die Antworten.

So wie ich das sehe spielt die Gewichtskraft hier gar keine Rolle?

Hat jemand vielleicht noch eine Idee, wie man das ganze über Gleichgewichtsbedingungen lösen kann?

Die Aufgabe stammt aus der Mechanik, speziell der ebenen zentralen Kräftesysteme und soll eigenlich mit Gleichgewichtsbedinungen gelöst werden.

Hat jemand eine Idee?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das Minimum, von dem ich gesprochen habe, ist doch die Gleichgewichtsbedingung, oder?

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mein Argument, dass die beiden Winkel an der Rolle gleich sein müssen, ist auch eine Gleichgewichtsbedingung.

Die Seilkräfte nach rechts oben und links oben müssen gleich groß sein, da sonst die stärkere Kraft solange über die Rolle das schwächer gespannte straffen würde, bis sie gleich groß sind.

Diese beiden Seilkräfte zerlege ich in ihre horizontalen und vertikalen Komponenten. Die Summe der beiden vertikalen Komponenten ist die Gegenkraft zur Gewichtskraft, die beiden horizontalen Komponenten heben sich gegenseitig auf (Kräftegleichgewicht).

Weil die beiden Seilkräfte gleich groß sind und ihre horizontalen Komponenten gleich groß sind, müssen also die beiden Winkel an der Rolle gleich groß sein.

Du hast recht, die Stärke der Gewichtskraft spielt keine Rolle. Es reicht aus, zu wissen, dass sie stark genug ist, um das Seil zu spannen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Noch ein Tipp: Das "bisschen Rechnerei", das nach meiner Methode am Ende steht, lässt sich wohl am ehesten erledigen, wenn man die Nullstellen in der resultierenden Gleichung für x numerisch bestimmt. Davon gibt es zwei für 0<x<8, die mit x<4 ist die physikalisch sinnvolle (Die Rolle befindet sich unter A und B).

Marcos Ansatz ist richtig, seine resultierende Gleichung für x und h habe ich allerdings nicht nach h aufgelöst bekommen (Polynom vierter Ordnung in h, in Abhängigkeit von x), daher kam ich gar nicht bis zum Ableiten. Wenn du sowas nicht in einer superstarken Formelsammlung findest oder mit einem superschlauen Computerprogramm knacken kannst, empfehle ich dir also meinen Weg.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Mein Ansatz verlangt wirklich eine ziemlich nervige und langatmige Rechnung. Allerdings komme ich auf eine quadratische Gleichung, weil die ^4 Terme sich zum Glück (bei mir) gegenseitig wegheben. Trotzdem habe ich es bis jetzt noch nicht geschafft, das ganze ohne Rechenfehler durch zu ziehen...
Eigentlich wird die Masse ja durch das Seil auf eine Ellipse gezwungen. Leider ist die aber schräg zur Schwerkraftrichtung, so dass es eben ziemlich viel Rechnerei wird.
Irgendwie habe ich schon noch den Ergeiz, da auf eine Lösung zu kommen, aber wirklich lohnen tut sich das wohl nicht. Da ist man mit den Winkeln doch besser dran!
Die beiden Ansätze waren auch von Anfang an die einzigen, die mir eingefallen sind. Ich weiß nicht, ob man da noch irgendwie anders dran gehen kann, damit es "mehr" mit Gleichgewicht zu tun hat? Ich weiß nicht so recht, warum Dir unsere Lösungsansätze nicht richtig gefallen... Würde mich aber interessieren, ob die Aufgabe wirklich anders gedacht war.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich wollte das mit der Ellipse nochmal verdeutlichen und habe deshalb etwas gezeichnet. Ich glaube aber nicht, dass man damit wirklich etwas anfangen kann...

Gruß
Marco