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Golbjaer
Gast
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 Golbjaer Verfasst am: 27. Jun 2015 21:52 Titel: Herleitung des Faraday'schen Induktionsgesetzes für eine Lei |
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Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei dem Versuch, dass Faraday'sche Induktionsgesetz für eine Leiterschleife, d.h. das die induzierte Spannung gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses ist, aus den Maxwell'schen Gleichungen herzuleiten.
Meine Ideen:
Mein Ansatz dazu war, das Linienintegral über den Rand der von der Leiterschleife begrenzten Fläche mit dem Satz von Stokes umzuschreiben und die Maxwell-Gleichung
einzusetzen. Das größte Problem ist nun, dass ich die zeitliche Ableitung nun nicht aus dem Integral rausziehen kann, denn theoretisch könnte die Fläche,
über die ich integriere, zeitabhängig sein - das ist ja gerade eine Anwendung des Faradayschen Induktionsgesetzes.
Das größte Problem an diesem Punkt ist denke ich, dass ich noch keine Information über die Leiterschleife in meine Überlegung hineingesteckt habe, aber ich weiß momentan auch nicht, wie ich das tun kann.
Bisher steckt in meiner Überlegung ja nur die Maxwell-Gl., die besagt, dass eine Änderung des B-Feldes elektrische Wirbelfelder zur Folge hat, aber der Fakt, dass in der Leiterschleife ja nach dem Faraday'schen Induktionsgesetz auch durch Änderung der Fläche bei homogenem B-Feld eine Spannung induziert wird, fehlt bisher.
Wie kann ich hier weiter vorgehen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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Golbjaer
Gast
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| Golbjaer Verfasst am: 27. Jun 2015 22:26 Titel: |
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Auf der Wikipedia-Seite zur elektromagnetischen Induktion findet sich dieser allgemeingültigere Ausdruck, dass das geschlossene Linienintegral über den Ausdruck E + v x B gleich der negativen zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses entspricht, auch. Gleichzeitig heißt es aber einige Absätze zuvor, dass diese Erweiterung um v x B für eine Leiterschleife entfällt. Mir wird aber nicht ganz klar, wieso. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3404
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| ML Verfasst am: 27. Jun 2015 23:21 Titel: Re: Herleitung des Faraday'schen Induktionsgesetzes für eine |
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Hallo,
| Zitat: |
Mein Ansatz dazu war, das Linienintegral über den Rand der von der Leiterschleife begrenzten Fläche mit dem Satz von Stokes umzuschreiben und die Maxwell-Gleichung
einzusetzen. Das größte Problem ist nun, dass ich die zeitliche Ableitung nun nicht aus dem Integral rausziehen kann, denn theoretisch könnte die Fläche,
über die ich integriere, zeitabhängig sein - das ist ja gerade eine Anwendung des Faradayschen Induktionsgesetzes.
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ok, Du bist also bis zu der Form:
}{\vec E \cdot \text{d}\vec s}= -\iint\limits_{A(t)}{\frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text{d}\vec A}) gekommen.
| Zitat: |
Das größte Problem an diesem Punkt ist denke ich, dass ich noch keine Information über die Leiterschleife in meine Überlegung hineingesteckt habe, aber ich weiß momentan auch nicht, wie ich das tun kann.
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Ja, darüber sprechen wir gleich.
Zunächst mal wäre es wichtig, dass Du diese Rechnungen nachvollziehst
https://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#.C3.9Cbergang_von_der_differentiellen_Form_zur_Integralform.
Der Schlüssel zum Verständnis ist die Gleichung, die unter Nr. 24 notiert ist.
 \cdot \mathbf{u} \cdot d\mathbf{A}. )
Im Grunde steht da drin, dass sich der Fluss durch drei Dinge ändern kann:
1. Term) durch eine Änderung der Flussdichte
2. Term) durch eine Änderung der Randlinie (die z. B. eine Flächenvergrößerung/-verkleinerung nach sich zieht), und
3. Term) weil die Fläche während der Zeit dt über Quellen des Feldes (das wären in diesem Fall magn. Monopolladungen) hinüberfahren kann und nun die von den Quellen ausgehenden Feldlinien gewissermaßen "von der anderen Seite" durch die Fläche stoßen und daher mit umgekehrtem Vorzeichen in die Berechnung des Flusses eingehen.
Da die Maxwellgleichungen postulieren, dass es keine magn. Ladungen gibt (divB=0) und bislang auch experimentell noch keine solchen Ladungen nachgewiesen wurden, können wir den dritten Term ersatzlos streichen. (Wenn wir eine analoge Gleichung für das Durchflutungsgesetz herleiten wollten, müssten wir diesen Term allerdings berücksichtigen! Quellen des elektrischen Feldes, sprich: Ladungen, gibt es ja.)
Wir sind jetzt bei der Gleichung ****
}{(\vec E+\vec u \times \vec B(t)) \cdot \text{d}\vec s}= -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\iint\limits_{A(t)} \vec B(t) \cdot \text{d}\vec A)
angekommen.
Bis hierher haben wir nur das Induktionsgesetz sowie divB=0 genutzt. Wir wissen also noch überhaupt nichts über Drahtschlingen u. ä. Der Vektor  ist an dieser Stelle noch die Geschwindigkeit der nur gedachten (nichtphysikalischen) Linie  ; der Randlinie von A.
Um die Gleichung auf die Drahtschleife anzuwenden, vereinbaren wir, dass sich das Oszilloskop im Laborsystem befindet. Wir lassen zu, dass der Draht eine beliebige Geschwindigkeit  hat, die natürlich an jedem Ort des Drahtes unterschiedlich sein kann. Um die Gleichung **** bestmöglich anwenden zu können, vereinbaren wir, dass die (bislang als beliebig angenommene) Linie immer genau den Weg des Drahtes nachfährt, so dass  gilt. Wir dürfen unter diesen speziellen Bedingungen also die Geschwindigkeit des Drahtes ins Induktionsgesetz einsetzen*:
}{(\vec E+\vec v \times \vec B(t)) \cdot \text{d}\vec s}= -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\iint\limits_{A(t)} \vec B(t) \cdot \text{d}\vec A)
Der Clou ist nun folgender:
Wenn der Draht eine gute Leitfähigkeit hat bzw. nur wenig Strom führt, gilt überall entlang des Drahtes  **. Das bedeutet, dass sich das Ringintegral
}{(\vec E+\vec v \times \vec B(t))}) einzig aus dem E-Feld speist, das im Oszilloskop zu finden ist (im Oszilloskop ist v=0; es geht also nur um das E-Feld im Oszilloskop).
Der Term entspricht also in diesem speziellen Fall genau dem, was das Oszilloskop anzeigt und was in der Elektrotechnik gemeinhin als "Klemmenspannung" bezeichnet wird***.
Viele Grüße
Michael
* Ich reite auf dem Unterschied zwischen und herum, da diese Unterscheidung mir zum Verständnis des Heringschen Paradoxons als wichtig erscheint -- das aber nur als Randnotiz.
** Du kannst die Bedingung E+vxB mithilfe der elektromagnetischen Gesamtkraft interpretieren. Die Gleichung sagt aus, dass auf eine Probeladung im Draht keine Kraft wirkt.
Vielleicht hilft es aber auch, wenn wir uns gedanktlich in das Ruhesystem des jeweiligen Drahtstückchens versetzen. Dann bedeutet diese Bedingung, dass im Draht E'=0 gilt (also kein E-Feld vorhanden ist). Die Bedingung E'=0 erfüllen Leiter, in denen Strom fließt, natürlich nur näherungsweise. Wenn wir E'=0 mit der Lorentztransformation ins Laborsystem zurücktransformieren, kommt heraus:  . Die Rechnung ist wegen der Null sogar exakt, und nicht nur näherungsweise richtig.
*** Genau genommen dürfte man nicht von "Spannung" sprechen, da kein Potentialfeld vorliegt. Das ist aber eine andere Diskussion.
Zuletzt bearbeitet von ML am 28. Jun 2015 02:53, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3404
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| ML Verfasst am: 27. Jun 2015 23:56 Titel: Re: Herleitung des Faraday'schen Induktionsgesetzes für eine |
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Hallo,
| Golbjaer hat Folgendes geschrieben: | Bisher steckt in meiner Überlegung ja nur die Maxwell-Gl., die besagt, dass eine Änderung des B-Feldes elektrische Wirbelfelder zur Folge hat, aber der Fakt, dass in der Leiterschleife ja nach dem Faraday'schen Induktionsgesetz auch durch Änderung der Fläche bei homogenem B-Feld eine Spannung induziert wird, fehlt bisher.
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noch eine kleine Ergänzung, damit Du nicht in die falsche Richtung denkst:
Das E-Feld, das beim Experiment "bewegter Leiter im homogenen B-Feld" (also diesem Experiment: https://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#/media/File:Bewegter_Leiter_im_Feld.svg) entsteht, ist ein reines Potentialfeld.
Viele Grüße
Michael |
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Golbjaer
Gast
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| Golbjaer Verfasst am: 28. Jun 2015 00:13 Titel: |
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Vielen Dank für diese sehr hilfreiche und ausführliche Antwort!
Zwei Fragen stellen sich mir hier aber noch:
1. Auf diese Form der Differenzierung des magnetischen Flusses bin ich nun öfter gestoßen. Es scheint sich dabei um die Leibniz-Regel zu handeln (en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule) Wie setzt man an, wenn man sich diese Identität herleiten möchte? Oder ist das mathematisch eher sehr aufwendig? Es muss sich auch gar nicht um eine mathematisch korrekte Herleitung handeln, sie sollte vielleicht eher plausibel sein.
2. Ist die Bedingung E + v x B = 0 nicht eher eine elektrostatische? Wie kann man argumentieren, dass im Leiter auf Ladungen auch im dynamischen Fall keine resultierende Kraft wirken darf?
Vielen Dank schonmal im Voraus! |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3404
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| ML Verfasst am: 28. Jun 2015 00:37 Titel: |
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Hallo,
| Golbjaer hat Folgendes geschrieben: |
Zwei Fragen stellen sich mir hier aber noch:
1. Auf diese Form der Differenzierung des magnetischen Flusses bin ich nun öfter gestoßen. Es scheint sich dabei um die Leibniz-Regel zu handeln (en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule) Wie setzt man an, wenn man sich diese Identität herleiten möchte? Oder ist das mathematisch eher sehr aufwendig? Es muss sich auch gar nicht um eine mathematisch korrekte Herleitung handeln, sie sollte vielleicht eher plausibel sein.
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um Dir das Ganze plausibel zu machen, zeichnest Du eine geschlossene Linie ) für den Zeitpunkt t und eine räumlich verschobene Randlinie ) für den Zeitpunkt t+dt. Die Geschwindigkeit nimmst Du erst mal als überall konstant an, sonst zeichnet es sich nicht gut.
Die zu und zugehörigen Flächen kannst Du Dir dann als Ober- und Unterseite eines dosenähnlichen Volumens V vorstellen. Die Seitenfläche der Dose sind die Vektoren  , die die einzelnen Punkte von und miteinander verbinden.
Im Grunde musst Du jetzt die Flüsse durch die beiden Flächen miteinander vergleichen, voneinander abziehen und durch dt teilen. Du kommst dann auf die drei o. g. drei Terme. Die Flüsse durch beide Flächen unterscheiden sich:
a) aufgrund der zeitl. Änderung der Flussdichte
b) aufgrund der Tatsache, dass die Feldlinien, die durch die Seitenfläche der Dose austreten, zwar die Fläche durchstoßen, nicht aber und
c) weil magn. Monopole im Volumen V sein könnten, die zusätzliche Feldlinien erzeugen und mit unterschiedl. Vorzeichen in beide Flächen eingehen.
Am besten veranschaulichst Du Dir das Ganze mal mit Papier und Bleistift. Wenn Du nicht weiterkommst, poste Deine Zeichnung und Deine Überlegung. Ich schau dann mit drauf.
| Zitat: |
2. Ist die Bedingung E + v x B = 0 nicht eher eine elektrostatische? Wie kann man argumentieren, dass im Leiter auf Ladungen auch im dynamischen Fall keine resultierende Kraft wirken darf?
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Im dynamischen Fall ist das nur eine Näherung. Für einen ruhenden metallischen bzw. ohmschen Leiter gilt:  mit der Stromdichte  und der spezifischen Leitfähigkeit  . Bei hoher Leitfähigkeit  bzw. verschwindender Stromdichte  (hochohmiges Oszilloskop) kommen wir näherungsweise auf  , gültig in einem Bezugssystem, in dem der Leiter ruht und nur gültig im Rahmen der getroffenen Annahmen über die Feldstärke im Leiter.
In das Induktionsgesetz für Leiterschleifen gehen also definitiv Materialeigenschaften ein -- anders als für die allgemeinen Darstellungen, die mit den Ringintegralen hantieren.
Viele Grüße
Michael |
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Golbjaer
Gast
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| Golbjaer Verfasst am: 28. Jun 2015 16:03 Titel: |
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Ich habe mir das Ganze jetzt mal durch den Kopf gehen lassen:
Zur Herleitung der Formel:
Ich habe mir das jetzt so überlegt: Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten, durch die sich der magnetische Fluss ändern kann: Durch eine Änderung des B-Feldes bei konstanter hypothetischer Fläche, d.h. das Flächenintegral über dB/dt, oder durch die Änderung der hypothetischen Fläche bei konstantem B-Feld: Für dieses kann ich ein Flussgleichgewicht aufstellen: Eine verschobene und deformierte Fläche zu einem Zeitpunkt t + dt spannt ein Volumen auf: Der Fluss in dieses Volumen muss gleich dem Quellenfluss sein oder anders ausgedrückt: Die Flussdifferenz zwischen neuer und alter Fläche setzt sich zusammen aus dem Mantelfluss und dem Quellenfluss. Den Mantelfluss kann man nun so beschreiben, das jeder Punkt der Leiterschleife sich um u*dt bewegt hat und ein infinitesimales Flächenelement, aufgespannt durch die Vektoren u*dt und ds, den Flächennormalenvektor (u x ds)dt bildet. Teilen durch dt und Multiplikation mit B liefert ein infinitesimales Flusselement des Mantels, durch Integration über die Leiterschleife erhält man den Mantelfluss und so Term 2.
Der Quellenfluss ergibt sich ähnlich: Der Fluss durch das Volumen V ist das Oberflächenintegral über B - oder nach dem Satz von Gauss das Volumenintegral über die Divergenz von B. Ein infinitesimales Volumenelement ist dV = dA*v*dt, damit ein infinitesimaler Quellenfluss zu divB*dA*v*dt, und seine zeitliche Änderung zu divB*v*dA. Integration über die Fläche A(t) liefert den letzten Term. So klingt das für mich relativ logisch, ganz sauber klingt das aber noch nicht.. |
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Golbjaer
Gast
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| Golbjaer Verfasst am: 28. Jun 2015 20:10 Titel: |
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Ich habe jetzt auch schon mehrfach von der EMF (electromotive force) gelesen. Wäre es auch eine Erklärungsmöglichkeit, zu sagen, dass an einer offenen Leiterschleife das geschlossene Linienintegral über E + v x B jene EMF ist, die man als Spannung abgreifen kann? |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3404
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| ML Verfasst am: 29. Jun 2015 02:17 Titel: |
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Hallo,
| Golbjaer hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe jetzt auch schon mehrfach von der EMF (electromotive force) gelesen. Wäre es auch eine Erklärungsmöglichkeit, zu sagen, dass an einer offenen Leiterschleife das geschlossene Linienintegral über E + v x B jene EMF ist, die man als Spannung abgreifen kann? |
ja, im Grunde ist das Ringintegral über E+vxB entlang einer Drahtschleife wohl genau das, was man unter "elektromotorischer Kraft" versteht. Ich drücke mich hier so vage aus, weil ich mich nicht erinnere, je irgendwo eine wirkliche Definition dieses Begriffs gesehen zu haben.
Vorsicht ist geboten, wenn die Leiterschleife nicht dünn ist oder Schleifkontakte vorliegen, wie beispielsweise beim Hering'schen Paradoxon.
https://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#Heringsches_Paradoxon
Viele Grüße
Michael |
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Golbjaer
Gast
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| Golbjaer Verfasst am: 29. Jun 2015 03:15 Titel: |
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Ich habe immer noch Probleme mit zwei Situationen:
1. Ich kann doch prinzipiell auch eine offene Leiterschleife aus einem Magnetfeld ziehen, sodass das offene Ende (also dort wo man die Spannung messen würde) sich durch das Magnetfeld bewegt. Dann gilt doch eigentlich nicht mehr v=0. Kann ich dann noch von einer Spannung sprechen?
2. Was wäre los, wenn man eine geschlossene Leiterschleife in ein Magnetfeld zieht. Dann hätte man eine Änderung des Flusses und bei einem perfekten Leiter würde über den ganzen Integrationsweg E + v x B = 0 sein, im Widerspruch dazu, dass die magn. Flussänderung verschieden von 0 ist. Hat man dann einen Kurzschluss erzeugt oder wie ist das zu verstehen? |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3404
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| ML Verfasst am: 29. Jun 2015 05:01 Titel: |
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Hallo,
| Golbjaer hat Folgendes geschrieben: | Ich habe immer noch Probleme mit zwei Situationen:
1. Ich kann doch prinzipiell auch eine offene Leiterschleife aus einem Magnetfeld ziehen, sodass das offene Ende (also dort wo man die Spannung messen würde) sich durch das Magnetfeld bewegt. Dann gilt doch eigentlich nicht mehr v=0. Kann ich dann noch von einer Spannung sprechen?
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Hierzu habe ich zwei Anmerkungen:
- Den Buchstaben v habe ich für die Geschwindigkeit eines Leiterdrahtes vorgesehen. Für gedachte Linien verwende ich u. Ich würde daher gerne hinterfragen, was für eine Geschwindigkeit Du meinst.
- Ich hatte ja schon angedeutet, dass man streng genommen nur in einem elektrischen Potentialfeld von einer Spannung sprechen kann. Wenn in einer ausreichend großen Umgebung um die beiden Leiterenden und die Verbindungslinie rotE=0 gilt (zumindest näherungsweise), dann lässt sich der Begriff der Spannung in dieser Umgebung m. E. sinnvoll definieren. Die Frage lautet bei dieser Konfiguration aber, für welches Bezugssystem Du diese Spannung angeben willst: für das Laborsystem oder für ein sich bewegendes Bezugssystem. Ein bewegtes Voltmeter würde die Spannung im bewegten System messen.
| Zitat: |
2. Was wäre los, wenn man eine geschlossene Leiterschleife in ein Magnetfeld zieht. Dann hätte man eine Änderung des Flusses und bei einem perfekten Leiter würde über den ganzen Integrationsweg E + v x B = 0 sein, im Widerspruch dazu, dass die magn. Flussänderung verschieden von 0 ist. Hat man dann einen Kurzschluss erzeugt oder wie ist das zu verstehen? |
Ja, der Widerspruch existiert tatsächlich. Das bedeutet aber nicht, dass die Physik in sich widersprüchlich ist, sondern nur, dass Du eine Situation beschreibst, die in der Realität nicht vorkommt:
- Entweder Du hast einen ideal leitenden Ring. Dann wirst Du keine Flussänderung erreichen
- Oder Du erreichst eine Flussänderung. Dann ist der Ring nicht ideal.
Wenn Du einen Ring aus ideal leitendem Material hast und nun (um eine Flussänderung zu erzeugen) diesen Ring beispielsweise zwischen die Pole eines Permanentmagneten hältst, entsteht im Ring ein Strom, der den von Dir neu eingebrachten Fluss exakt kompensiert. Du erreichst also gerade keine Flussänderung.
Dieser Strom würde nun im Idealfall -- sofern Du das Experiment anschließend in Ruhe lässt -- unendlich lang weiterfließen. Technisch gesehen ist so etwas aber allenfals bei Supraleitern denkbar.
Bei einem metallischen Draht (und sei er noch so gut leitend) wird der Strom irgendwann in Richtung Null gehen, weil die Energie aus dem Feld in Wärme umgesetzt wird (ohmsche Verluste). Technisch nutzt Du sowas in der Wirbelstrombremse.
Viele Grüße
Michael |
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