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Herleitung freie harmonische Schwingung
 
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elisapia
Gast
Beitrag elisapia Verfasst am: 21. Jun 2015 15:29    Titel: Herleitung freie harmonische Schwingung Antworten mit Zitat
Meine Frage:
Hallo, in meinem Buch steht, dass aus der Differentialgleichung die allgemeine Lösungsform hergeleitet werden kann. Nirgens steht aber ein Ansatz zur Herleitung.

Meine Ideen:
x(t) = c1 cos (!t) + c2 sin (!t)

dabei ist c die Amplitude

wie kommt man darauf?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Jun 2015 16:15    Titel: Antworten mit Zitat
Es gibt wahrscheinlich beliebig viele Wege, einer ist z.B. mithilfe der Laplace-Transformation:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln/dgl1-d-09.pdf
(ein Beispiel ist auf Seite 188)
hansguckindieluft



Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
Beitrag hansguckindieluft Verfasst am: 21. Jun 2015 20:54    Titel: Re: Herleitung freie harmonische Schwingung Antworten mit Zitat
elisapia hat Folgendes geschrieben:

Meine Ideen:
x(t) = c1 cos (!t) + c2 sin (!t)

dabei ist c die Amplitude

wie kommt man darauf?


also, dass c die Amplitude der Schwingung ist, halte ich für ein Gerücht.

Aber auf den Ansatz könnte man ja z. B. auch kommen, in dem man sich die Frage stellt, welche Funktion für x(t) man denn erwartet. Da es sich um eine Schwingung handelt müsste es wohl etwas periodisches sein. Und im Begriff "harmonische"Schwingung steckt der Sinus eigentlich schon drin.

Also scheint doch der Sinus (oder auch der Kosinus) keine so schlechte Idee für eine Funktion zu sein, die eine harmonische Schwingung beschreiben soll. Ein einfacher Ansatz fom Typ
x(t) = sin(t)
wäre aber zu eingeschränkt. Die Amplitude wäre immer 1, die Periodendauer wäre immer 2pi und die Schwingung würde auch immer bei Null beginnen.
Um die Lösung also anpassen zu können, muss man noch ein paar Konstanten einbauen. Mit einer Kombination aus Sinus und Kosinus kann man z. B. eine beliebig Phasenverschobene Schwingung "bauen". Eine zusätzliche Konstante im Argument von Sinus und Kosinus hilft dabei, die Periodendaur anzupassen. Die Konstanten C1 und C2 können mit Hilfe der Anfangsbedingungen (Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsauslenkung) ermittelt werden.
Alternativ zu dem Ansatz mit Sinus und Kosinus könnte man auch eine Sinus- ODER Kosinusfunktion ansetzen, die noch eine Konstante für die Phasenverschiebung besitzt.

Gruß
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