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EFeld
Gast
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 EFeld Verfasst am: 20. Jun 2015 19:30 Titel: E-Feld aus B-Feld einer EM Welle berechnen |
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Meine Frage:
Es ist das Magnetfeld =\begin{pmatrix} 0 \\ a(x-ct) \\ b(x-ct) \end{pmatrix}) gegeben, das eine EM-Welle im Vakuum in x-Richtung beschreibt. a und b sind beliebige Funktionen. Gesucht ist das elektrische Feld.
Meine Ideen:
Mit der Maxwell-Gleichung:  kommt man dann auf  \\ -cb(x-ct) \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 0 \\ a(x-ct) \\ b(x-ct) \end{pmatrix} ) und  .
Das ganze ist nun ziemlich blöd nach E aufzulösen, das ist mir klar. Meine Überlegung war soweit, dass, da es sich um eine EM Welle in x Richtung handelt und E || B ist, müsste ja beim E-Feld nur in der x-Komponente etwas stehen oder?
Kann ich mir eventuell auch die Eigenschaften der EM-Welle zu Nutze machen wie z.B.
 ) bzw  ) ? Ich habe schließlich B gegeben. Wäre mein B dann  oder  ?
Ansonsten weiß ich nicht weiter. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 21. Jun 2015 08:26 Titel: |
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Die Aufgabe ist abgeschlossen - du benötigst keine weiteren Annahmen...
Du hast ja die eine Gleichung bereits hingeschrieben:
woraus folgt
Nun gibt es aber noch eine zweite Gleichung (bei mir ist  )
und daraus
Aus
und
folgt durch Subtraktion
 = \frac{\partial}{\partial t}(E_y-b))
Was kann man daraus schließen, wenn dies für alle t und x gelten soll?
Genauso geht es mit den anderen Komponenten E_z und a...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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EFeld
Gast
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| EFeld Verfasst am: 21. Jun 2015 11:15 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Die Aufgabe ist abgeschlossen - du benötigst keine weiteren Annahmen...
Du hast ja die eine Gleichung bereits hingeschrieben:
woraus folgt
Das kann ich irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. Warum bleiben nur -E_z und E_Y übrig? Liegt das daran, dass die Funktionen nur von x abhängen und somit die anderen part. Ableitungen nichts zur Sache tun?
Nun gibt es aber noch eine zweite Gleichung (bei mir ist )
Was ist, wenn es nicht gleich eins ist? Kann ich die einfach vor mein E-/B-Feld setzen?
und daraus
Aus
und
folgt durch Subtraktion
Was kann man daraus schließen, wenn dies für alle t und x gelten soll?
Das E_y sowohl von x als auch t abhängt? bei x+t ist die part. Abl. ja jeweils 1
Genauso geht es mit den anderen Komponenten E_z und a... |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. Jun 2015 12:08 Titel: |
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ich habe dir einen Denkanstoß gegeben. Wenn du in einem Einheitensystem rechnest, wo die beiden Konstanten nicht eins sind, kommen halt Faktoren dazu.
a(x-ct) und b(x-ct) sind Wellen, die sich in positiver x-Richtung ausbreiten.
Daher ist
und
Nun musst du nur noch kombinieren. Es folgt dann, dass Ey proportional zu Bz und Ez proportional zu By ist. Was der Proportionalitätsfaktor ist, kannst du leicht aus dem bisher gezeigten zeigen.
| Zitat: | | Das kann ich irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. Warum bleiben nur -E_z und E_Y übrig? Liegt das daran, dass die Funktionen nur von x abhängen und somit die anderen part. Ableitungen nichts zur Sache tun? |
ja, sicher: die anderen Komponenten des Rotors enthalten Ableitungen nach y, und z, die natürlich verschwinden.
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EFeld
Gast
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| EFeld Verfasst am: 21. Jun 2015 20:10 Titel: |
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[quote="schnudl"]ich habe dir einen Denkanstoß gegeben. Wenn du in einem Einheitensystem rechnest, wo die beiden Konstanten nicht eins sind, kommen halt Faktoren dazu. /quote]
Gut, ich wollte nur nochmal nachfragen (:
So, ich hab das jetzt so:
1. Bedingung
 \\ -cb(x-ct) \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 0 \\ a(x-ct) \\ b(x-ct) \end{pmatrix} )
2. Bedingung
 \\ a(x-ct) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ \partial E_y/\partial t \\ \partial E_z/\partial t \end{pmatrix})
Daraus folgt dann:
 = \frac{\partial}{\partial x}(-E_z+a) = \frac{\partial}{\partial t}(E_z-a))
Das kann ich schon irgendwie nachvollziehen, aber nicht behaupten darauf jemals zu kommen.
Ich weiß schon was du mir sagen willst aber irgendwie sehe ich es nicht. Ich weiß auch nicht, wo genau es bei mir hängt und was ich nicht hinbekomme. /: Mich verwirrt momentan einfach am meisten, dass es einen Zusammenhang zwischen der zeitlichen Ableitung und der x-Ableitung gibt. Das schreckt mich ab und ich weiß nicht wie ich was rechnen soll bzw darf. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Jun 2015 20:45 Titel: |
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Vorsicht:
ist nicht
)
und
ist nicht
)
Du hast eine Funktion b, die von t und x abhängt, aber als
))
geschrieben werden kann, mit
 = x-ct)
Das ist genau die Gleichung einer Welle in x-Richtung
Daraus (Kettenregel)
Du kannst dir das auch plausibilisieren, indem du dich gedanklich auf eine Welle draufsetzt (mitreitest): Dann bleibst du immer auf der gleichen Höhe, während du innerhalb einer Zeit dt um eine Strecke c dt weitersurfst:
Also ist
oder
Ich hoffe es ist nun klarer geworden, was eine Welle ist...
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EFeld
Gast
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| EFeld Verfasst am: 21. Jun 2015 21:12 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Du hast eine Funktion b, die von t und x abhängt, aber als
geschrieben werden kann, mit
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Achso, ich hab das so gemacht, weil meine ich in der Aufgabe stand, dass b und a = b(x) bzw a(x) sind.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Du kannst dir das auch plausibilisieren, indem du dich gedanklich auf eine Welle draufsetzt (mitreitest): Dann bleibst du immer auf der gleichen Höhe, während du innerhalb einer Zeit dt um eine Strecke c dt weitersurfst:
Also ist
oder
Ich hoffe es ist nun klarer geworden, was eine Welle ist... |
Das macht es auf den ersten Blick dann doch eindeutiger, Danke!
Ehrlich gesagt komme ich trotzdem nicht weiter. Wird das Ergebnis dann wirklich auch nur aus den Funktionen bestehen, sodass die Ableitungen "rausfallen" oder bleibt so umständlich?
(ich komme mir gerade echt dumm vor, tut mir leid) |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Jun 2015 21:42 Titel: |
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und
folgen einmal wie oben beschrieben aus den beiden Maxwellgleichungen (nun mit den richtigen Vorfaktoren, in SI Einheiten).
Daraus folgt
E_y ist also auch eine Welle in x-Richtung! Aus den Ableitungen folgt dann, dass für E nur noch
 = c \cdot b(x,t) = c \cdot B_z(x-ct) )
möglich ist, abgesehen von einer Konstanten, deren Ableitung ja Null ist.
Die Felder E und H einer sich in x-Richtung ausbreitenden EM-Welle stehen also senkrecht aufeinander und sind durch die Impedanz
verknüpft. Man nennt das den Wellenwiderstand des freien Raums. Bei einer Leitung ist es nicht anders, nur dass der Wellenwiderstand von der Geometrie abhängt. Speist man in eine Leitung einen Spannungspuls ein (E), so hat der Strompuls (H) die gleiche Form, nur eben skaliert mit Z.
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