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Nachricht |
RungaKutte
Gast
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 RungaKutte Verfasst am: 06. Jun 2015 14:57 Titel: BraKet Skalarprodukt mit beliebigem Zustandsvektor |
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Hallo Forum,
ich habe den BraKet Formalismus noch nicht vollständig verstanden, bzw weiß nicht wie ich mit folgender Aufgabe umgehen soll:
Zeigen Sie:
Dabei ist <p'| ein Eigenvektor zum Impulsoperator und |\alpha> ein beliebiger Zustandsvektor.
Es wäre ja hilfreich den ket auf x zu projezieren, also:
|x'>
<br />
)
Alle Integrale jeweils in den Grenzen von -unendlich bis unendlich.
Aber wie komme ich dann weiter?
Ich war schonmal so weit, aber irgendwie hatte ich damit ja nichts gekonnt, oder?
 x'<x|x> \Psi_{\alpha}(x')
<br />
)
Ich hoffe mir kann da jmd Licht ins Dunkle bringen  [/latex] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 06. Jun 2015 16:52 Titel: |
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Wenn du zweimal die Eins einschieben möchtest, dann musst du zwei verschiedene Projektoren |x'><x'| und |x''><x''| sowie zwei Integrale über dx' sowie dx'' verwenden. Das ist hier aber gar nicht notwendig.
 = e^{ipx})
)
Damit ist
Nun kannst du einsetzen und erhältst
)
Das y kannst du wie folgt darstellen:
\,e^{-ipy})
Die Ableitung kannst du nun vor das dy-Integral ziehen, d.h.
 \int_{-\infty}^{+\infty} dy\,e^{-ipy}\,\psi_a(y))
Den letzten Ausdruck kannst du nun wieder zurück-umformen, indem du die eingeschobene Eins wieder weglässt.[/latex]
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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RungeKutta
Gast
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| RungeKutta Verfasst am: 06. Jun 2015 17:10 Titel: |
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Okay, danke
Das war ja schon mehr als ich erwartet habe!
Wieso aber ist
 = e^{ipx}
<br />
) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 06. Jun 2015 17:18 Titel: |
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| RungeKutta hat Folgendes geschrieben: |
Wieso aber ist
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Weil das die Eigenfunktionen des Impulsoperators im Ortsraum sind (wieso die hier auftreten kannst Du Dir ja mal überlegen  ). |
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RungeKutta
Gast
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| RungeKutta Verfasst am: 06. Jun 2015 17:34 Titel: |
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Achso, klar. Eigenfunktion macht Sinn.
Nur wäre das dann nicht
 = e^{\frac{i}{hbar}px}
<br />
)
Zumindest würde das mit der Eigenwertgleichung im Ortsraum Sinnmachen
Eigenfunktionen im Ortsraum würde in soweit für mich Sinn ergeben, weil wir uns ja die Projektion in den Ortsraum angucken und mit dem Ortsoperator rechnen.
Wenn das soweit stimmt, wäre das Thema für mich abgehakt |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 06. Jun 2015 17:36 Titel: |
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| RungeKutta hat Folgendes geschrieben: |
Zumindest würde das mit der Eigenwertgleichung im Ortsraum Sinnmachen
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Ich weiss nicht ob das p bei  ein Tipp- oder ein Verständnisfehler ist.
PS: (U.a.) Bei Tom und mir gilt:  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 06. Jun 2015 17:45 Titel: |
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Anmerkung: <x|p> führt auf die Impulseigenfunktion im Ortsraum, <p|x> auf Ortseigenfunktionen im Impulsraum.
Allgemein ist <b|a> die b-Darstellung von a-Eigenfunktionen.
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RungeKutta
Gast
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| RungeKutta Verfasst am: 06. Jun 2015 17:47 Titel: |
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Ack,
das war ein Tippfehler, bei den ganzen Ps hat sich da noch eins reingemogelt. Sollte natürlich
heißen.
Achso! Ich bleib lieber im (nicht) schönen SI-System. Aber wenn da sonst kein Einspruch von dir kommt, dann würd ich das mal als erledigt markieren.
Dankeschön |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 06. Jun 2015 17:51 Titel: |
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Sorry, dann ist es doch ein essentielles Verständnisproblem!
Die x-Ableitung kann nur auf eine Wellenfunktion in Ortsdarstellung, also auf <x|...> wirken, nicht jedoch auf den Ket |...>
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RungeKutta
Gast
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| RungeKutta Verfasst am: 06. Jun 2015 18:15 Titel: |
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Wie wäre es dann so?
Die Eigenwertgleichung ist ja bekannt:
Die Bra und Kets sind ja unabhängig von meiner Darstellungsform. Wähle ich jetzt also den Ortsraum so ist
<br />
)
Das eingesetzt in meine Eigenwertgleichung liefert
 = \Psi_p(x)
<br />
)
Das lösen der DGL bringt mich dann zu
 = e^{i/\hbar px}
<br />
)
Und ist damit meine Eigenfunktion des Impulsoperators im Ortsraum.
Kann ich das so schreiben? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 06. Jun 2015 21:46 Titel: |
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| RungeKutta hat Folgendes geschrieben: |
Die Bra und Kets sind ja unabhängig von meiner Darstellungsform. Wähle ich jetzt also den Ortsraum so ist
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Zunächst ist
 = \langle x|p\rangle)
d.h. die Wellenfunktion ist nicht gleich dem ket, sondern die Wellenfunktion in x-Darstellung ist die Projektion des kets auf den Ortseigenzustand <x|.
Und damit ist
 = -i\partial_x\,\psi(x))
Die Darstellung mittels Differentialoperator gilt nicht für den ket, sondern nur für die Wellenfunktion.
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RungeKutta
Gast
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| RungeKutta Verfasst am: 07. Jun 2015 11:20 Titel: |
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Alles klar, das hat mich schonmal viel weiter gebracht. Danke. Ich hoffe der Rest klärt sich im Tutorium |
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