SRT Skalarprodukt

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

moinmoin alle zusammen,

In unserer Theoretische Physik Vorlesung hat der Prof die Lorentztrafo eingeführt, deren Invarianz gezeigt und dann etwas mit den Vierer- und Dualvektoren rumgespielt. Hierbei hat er auch folgendes Skalarprodukt im Minkowski Raum definiert:

Für einen vierervektor

gilt:

Alternativ könnte man auch das minus auf die raumkoordinaten verteilen und das plus in die zeitkoordinate setzen nach Geschmack.
Ja, jedenfalls sieht man doch sofort, dass dieses Skalarprodukt nicht Positiv semidefinit ist, und somit die Anforderung der Analysis an ein solches nicht erfüllt. Haben wir natürlich unseren Prof mit konfrontiert, der meinte nur sowas wie "ja, das erlaubt auch negative Abstände, aber macht nix" Aber z.B werden dadurch auch imaginäre Winkel ermöglicht, und die Dreiecksungleichung geht dabei auch flöten.

Ich bin da also etwas verwirrt und suche hier Rat weil meine Übungsgruppe erst am Montag ist. Funktioniert die Physik trotzdem noch mit diesem Skalarprodukt? Meine Angst ist halt, dass man irgendwo bei weiterreichenden Überlegungen ein "echtes" Skalarprodukt brauchen könnte, was hier nicht mehr gegeben wird.
Wie gesagt die mathematische Forderung der positiven Semidefinitheit wird ihre Gründe haben, und gerade solche Dinge wie Metrik, Norm und Skalarprodukt sind es doch die dem Raum erst ihre Struktur geben.

gruß bishop

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, dieses Skalarprodukt ist nicht ein Skalarprodukt nach der allgemeinen Definition in der Mathematik, die positive Definitheit fordert.

Sondern ein Skalarprodukt nach einer breiter gefassten Definition wie

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

Danke Markus, bin mit dir ganz einverstanden. Eine Frage hätte ich aber noch. Welche Einschränkungen folgen aus diesem verallgemeinerten Skalarprodukt? Beziehungsweise wieso hat man lieber die relativ starke Forderung nach der positiven Definitheit?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hm, ich würde erst mal ganz pragmatisch versuchen zu sagen, das positiv definite Skalarprodukt ist praktisch für Berechnungen zum Beispiel im "ganz normalen" dreidimensionalen Raum, zum Beispiel für die klassische Mechanik, und das Skalarprodukt aus der Relativitätstheorie ist praktisch für unsere vierdimensionale Raumzeit.

Und als fühlbare Einschränkung beim Rechnen mit dem "neuen" Skalarprodukt und den Größen der Speziellen Relativitätstheorie würde ich vor allem erst mal ganz allgemein sagen, dass man wieder ein bisschen mehr aufpassen muss, sich genau an die Rechenregeln zu halten, als man das vielleicht von den bisherigen Rechnungen im vertrauten dreidimensionalen Raum mittlerweise oft schon automatisch gewohnt ist.

Welche oder was für konkretere Einschränkungen hattest du so im Sinn?

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

also mir schwebt da ungefähr folgendes vor:
In Beweisen wird ja oft verlangt "Sei bla ein Vektorraum mit der Norm blupp, dann gilt blipp"

Und naja, einerseits müssen wir Vorgänge im euklidischen Raum betrachten, andererseits brauchen wir ja auch die Lorentzinvarianz. Ich glaube mittlerweile, dass das gerade der Witz an dem Skalarprodukt im Minkowskiraum ist, daraus folgen ja quasi solche Dinge, wie unsinnige Abstände für gegenstände, die nicht innerhalb ihrer Lichtkegel sind etc.
Und daraus folgern wir eben, dass sich zwei Körper nicht immer beeinflussen können usw.

Worauf ich letztlich hinauswill ist die Sicherstellung, dass der Minkowskiraum sich auch wirklich genau wie der dreidimensionale euklidische Raum verhält, wenn man zulässige Abstände etc hat. Ich kann ehrlich gesagt schwer meinen Finger auf das Problem legen, da muss ich wohl noch mehr SRT und Lineare Algebra lernen =)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

naja aber eigentlich sollte ich doch bei kleinen geschwindigkeiten gar keinen Unterschied zum 3-D euklidischen Raum bemerken?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Klar. Und für die Relativitätstheorie brauchen wir dann den Fall großer Geschwindigkeiten, da tuts der euklidische Raum dann nicht mehr.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

japp und genau das meine ich Augenzwinkern

Ich kann sicher sein, dass im Falle kleiner Geschwindigkeiten das Skalarprodukt aus dem Minkowskiraum in das Skalarprodukt des euklidischen Raums übergeht und dabei seine positive Definitheit erhält?

Weil klar, durch kleine Geschwindigkeiten ist x0 sehr klein, aber ich sollte doch kleine Raumkoordinaten finden, in denen man wieder imaginäre Abstände erhält. Das muss aber irgendwie unterbunden werden

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, wobei man für diesen Übergang ins euklidische dann noch "von Hand" die Zeitdimension rausnehmen würde, und das ganze wohl nicht so direkt mit der Kleinheit von räumlichen Abständen begründen würde:

Denn der Übergang zu kleinen Geschwindigkeiten bedeutet hier ja konkret, dass man zwischen zwei Inertialsystemen transformiert, die nur noch mit kleiner Geschwindigkeit relativ zueinander bewegt sind.

Laut der Lorentztransformation und in den Minkowski-Diagrammen stehen die (Raum-(in Bewegungsrichtung) und Zeit-) Achsen des zweiten dieser Inertialsysteme schief zu den Achsen den ersten. Für kleine Geschwindigkeiten werden die Achsen immer weniger schief, und sind schließlich in sehr guter Näherung orthogonal zueinander.

Wenn aber alle acht Achsen (Zeit- und drei Raumachsen beider Inertialsysteme) senkrecht aufeinander bzw. parallel zu ihrem Pendant stehen (im Vierdimensionalen, von dem ich mir im Kopf zugegebenermaßen nur die x- und die t- Achsen vorstelle Augenzwinkern

), dann kann man die Zeit-Achse für die Berechnung von räumlichen Abständen auch weglassen, denn die wird dann nicht mehr benötigt, damit ein Abstand zwischen zwei Raumpunkten in den beiden Inertialsystemen gleich groß ist. Und mit der Galilei-Transformation und euklidischen Skalarprodukten rechnen.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

stimmt, damit gebe ich mich dann zufrieden
danke und gute Nacht =)