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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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 möppi Verfasst am: 03. Sep 2015 21:30 Titel: Skalarprodukt von Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl? |
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Servus,
Ich befasse mich gerade mit der BCS Theorie. Für den Grundzustand wird als Ansatz eine Superposition von Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl verwendet. Nun habe ich mich gefragt, wie man ein Skalarprodukt definieren würde und habe mir die Mathematik zum Fockraum angeschaut:
http://www.phas.ubc.ca/~mcmillan/pdfs/fock.pdf
(Seite 40)
Nehmen wir an ich habe Einteilchenzustände der Form  ) und die Zustände (nicht unbeding normiert):
 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_{3}(r_{1})\phi_{4}(r_{2})-\phi_{3}(r_{2})\phi_{4}(r_{1}))
<br />
)
und will das Skalarprodukt mit
<br />
)
bilden (denn solche Fälle kommen scheinbar in der BCS-Theorie vor).
In Besetzungszahlendarstellung ausgedrückt wäre das (Nummerierung nach Quantenzahlen):
und
Wenn ich das richtig verstanden habe hätte ich laut Skript (0 Teilchen, 1 Teilchen, 2 Teilchen,.....):
<br />
)
und
<br />
)
(hier 0 zu schreiben macht nicht sonderlich viel Sinn. Was würde ich sonst reinschreiben?)
Laut Skript wäre das Skalarprodukt 1. Ich habe gedacht, dass man die Definition des Skalarprodukts so erweitert (Zustand 1 hat N1 Teilchen, Zustand 2 N2 Teilchen):
Während der Fall N1=N2 ja klar definiert ist (Ergebnis komplexe Zahl C). Denn wenn N1=N2 ist, kann man das Skalarprodukt verwenden, wie es im Hilbertraum definiert ist.
Was mache ich falsch? Kann jemand ein wenig Licht in die Sache reinbringen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2015 00:09 Titel: |
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Ich versteh mit genau, was du jetzt rechnen willst. Zuerst hast du Ortsraumwellenfunktionen, dann hast du Fock-Zustände; das ist nicht das selbe, bzw. der Zusammenhang ist nicht einfach eine Gleichsetzung.
Fockraumzustände konstruierst du gemäß
^{n_i} \, |0\rangle)
Weitere nicht-verschwindende Einträge an anderen Stellen j,k,... analog.
Für das Skalarprodukt gilt
d.h. in beiden Zuständen müssen alle Besetzungszahlen identisch sein (andernfalls hast du ungepaarte Erzeuger bzw. Vernichter, und das ergibt Null) |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 04. Sep 2015 00:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich versteh mit genau, was du jetzt rechnen willst. Zuerst hast du Ortsraumwellenfunktionen, dann hast du Fock-Zustände; das ist nicht das selbe, bzw. der Zusammenhang ist nicht einfach eine Gleichsetzung.
Fockraumzustände konstruierst du gemäß
Weitere nicht-verschwindende Einträge an anderen Stellen j,k,... analog.
Für das Skalarprodukt gilt
d.h. in beiden Zuständen müssen alle Besetzungszahlen identisch sein (andernfalls hast du ungepaarte Erzeuger bzw. Vernichter, und das ergibt Null) |
Hi Tom,
Danke für deine Antwort.
Was ich meinte, ist folgendes: Der einfachste Fall wäre eine antisymetrische Wellenfunktion von 2 Elektronen
Reihenfolge der Zustände j=1,2,3,4,5,....
in 2. Quantisierung wäre das z.B:
<br />
)
und in der Orstdarstellung würde dieser Zustand (ohne Spin) so aussehen:
\phi_{7}(r_{2}) - \phi_{7}(r_{1})\phi_{3}(r_{2}))
<br />
)
So wie du das Skalarprodukt aufgeschrieben hast, ist es ja auch einleuchtend. Dann wäre das im Grunde nichts anderes als eine Multiplikation von Spaltenvektoren, die nur 1 und 0 enthalten. Aber jetzt überlege mal, was passieren würden, wenn beide Zustände unterschiedliche Teilchenzahlen enthalten würden, um bei deinem Beispiel zu bleiben, würde das bedeuten, dass die Summe über mi nicht gleich der Summe über ni ist. Wenn man Das Skalarprodukt so auffasst, wie man es von der Schule kennt, wäre das Skalarprodukt zwischen Psi_a und Psi_b auch in diesem Fall tatsächlich 0, aber wenn man sich überlegt, wie das Skalarpodukt ursprünglich im Ortsraum definiert ist (wir betrachten hier nur den Ortsanteil), führt das zu absurden Ergebnissen, denn im Ortsraum gilt:
 \Psi_{b}^{*}(r_{1},....r_{N})
<br />
)
Beide Wellenfunktionen sind Slaterdeterminanten von einer bestimmen Konfiguration von Einteilchenzuständen (einfachhalbar keine Superposition) und hierbei kommt dann tatsächlich für das Skalarprodukt das Ergebnis raus, so wie du es hingeschrieben hast und jetzt überlege ich mir, wie man dieses Integral definieren müssten, wenn es ungleiche Teilchenzahlen geben würde, z.B., dass Psi_{b} M Teilchen mit M!=N (N ursprünglich: N=Summe(i) ni= Summe(i) mi) enthält. Man könnte das ganze "retten" in dem man die Definition des Skalarprodukts erweitert und sagt, dass nur das Skalarprodukt von Zuständen gleicher Teilchenzahl ungleich 0 sein kann. Es würde vom Ergebnis auf das gleiche hinauslaufen, aber der Punkt es eben, dass man kein Integral wie oben beschrieben definieren könnte. Das würde nur gehen, wenn man gleiche Teilchenzahlen betrachtet. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 04. Sep 2015 01:12 Titel: |
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Ich gebe dir mal ein Beispiel (wieder nur Ortswellenfunktionen):
Im Ortsraum:
\phi_{2}^{*}(r_{2})-\phi_{1}^{*}(r_{2})\phi_{2}^{*}(r_{1}))*\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_{1}(r_{1})\phi_{3}(r_{2})-\phi_{1}(r_{2})\phi_{3}(r_{1}))=0
<br />
)
ist also konsitent mit dem obigen Ergebnis
un versuche es mal mit
(???)
(Dies wären 2 Teilchen und 4 Teilchen. Alle nachfolgenden Besetzungszahlen sollen 0 sein)
Aber das es lässt sich nicht so wie oben schreiben |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2015 09:03 Titel: |
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| möppi hat Folgendes geschrieben: | | Dann wäre das im Grunde nichts anderes als eine Multiplikation von Spaltenvektoren, die nur 1 und 0 enthalten. |
So ist das. Und im Falle von Elektronen darfst du ~ durch = ersetzen, da der Normierungsfaktor gleich Eins ist.
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | Aber jetzt überlege mal, was passieren würden, wenn beide Zustände unterschiedliche Teilchenzahlen enthalten würden ... |
Meinst du für ein j, oder in Summe über alle j? Je j ist ja nur 0 oder 1 zulässig.
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | ... um bei deinem Beispiel zu bleiben, würde das bedeuten, dass die Summe über mi nicht gleich der Summe über ni ist. Wenn man Das Skalarprodukt so auffasst, wie man es von der Schule kennt, wäre das Skalarprodukt zwischen Psi_a und Psi_b auch in diesem Fall tatsächlich 0 |
Ja.
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | ... aber wenn man sich überlegt, wie das Skalarpodukt ursprünglich im Ortsraum definiert ist (wir betrachten hier nur den Ortsanteil), führt das zu absurden Ergebnissen ... beide Wellenfunktionen sind Slaterdeterminanten von einer bestimmen Konfiguration von Einteilchenzuständen ... |
Eine Slaterdeterminante ist definiert für eine feste Teilchenzahl. Wenn du verschiedene Teilchenzahlen hast, dann funktioniert das nicht.
Schreib' doch mal die Slaterdeterminante für einen Zweiteilchenzstand hin. Und dann versuche, daraus die Slaterdeterminante für den einen Einteilchenzstand zu erhalten. Das geht nicht, weil du immer eine Ortskoordinate zu viel hast.
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | Man könnte das ganze "retten" in dem man die Definition des Skalarprodukts erweitert und sagt, dass nur das Skalarprodukt von Zuständen gleicher Teilchenzahl ungleich 0 sein kann. Es würde vom Ergebnis auf das gleiche hinauslaufen, aber der Punkt es eben, dass man kein Integral wie oben beschrieben definieren könnte. Das würde nur gehen, wenn man gleiche Teilchenzahlen betrachtet. |
Ja, weil zunächst mal der Zweiteilchen- und der Einteilchenzustand in unterschiedlichen Hilberträumen leben. Und zwischen diesen existiert kein Skalarprodukt. Der eine Hilbertraum ist über R^2 definiert, der andere über R; wie soll da das Integral definiert werden?
Was du machen musst ist, zum Fockraum überzugehen. Die Besetzungszahldaratellung liefert dir diesen Übergang automatisch, erledigt für dich die ganze Buchhaltung, Antisymmetrisierung und Skalarproduktbildung.
Wenn du das jetzt mit Slaterdeterminanten "nachbaust", dann wird das letztlich funktionieren und auf das selbe hinauslaufen, jedoch nur mit viel Aufwand, den du dir eigtl. sparen kannst.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2015 09:10 Titel: |
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Betrachten wir
 = \text{A}\,\phi_a(x_1)\,\phi_b(x_2))
wobei A für die Antisymmetrisierung steht.
Nun betrachten wir
 = \phi_c(x_1))
Für dein Skalarprodukt benötigst du ein
Aber in deiner Einteilchenwellenfunktion kommt kein x_2 vor. Dieses Skalarprodukt musst du gar nicht als Integral auffassen; es verschwindet bereits ohne Integral aufgrund der Definition des Fockraumes. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 04. Sep 2015 09:47 Titel: |
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ja genau das meinte ich ja. Eine Wellenfunktion wäre "ungepaart" und wenn man über dx1 und dx2 integriet, würde da humbuck rauskommen, deswegen, ist die Definition des Skalarprodukts im Fockraum erweitert. Im Fockraum definiert man einfach von vornherein, dass das Skalarprodukt von Zuständen ungleicher Teilchenzahl 0 ist und bei gleicher Teilchenzahl kann man dann auf die Definition, die wir kennen zurückgreifen, bei Ortswellenfunktionen wäre es das oben erwähnte Integral. In der Besetzungszahlendarstellung läuft das darauf hinaus, dass ein Skalarprodukt zwischen 2 Basisvektoren 1 ist, wenn beide Vektoren gleich sind (Zustände gleichermaßen besetzt) sonst immer 0.
Würdest du zustimmen, oder gibt es Einwände? |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 04. Sep 2015 09:57 Titel: |
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btw mit gleicher Teilchenzahl meine ich natürlich die Summe über ni |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2015 10:43 Titel: |
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Zustimmung
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | Im Fockraum definiert man einfach von vornherein, dass das Skalarprodukt von Zuständen ungleicher Teilchenzahl 0 ist und bei gleicher Teilchenzahl kann man dann auf die Definition, die wir kennen zurückgreifen, bei Ortswellenfunktionen wäre es das oben erwähnte Integral. |
Wenn du so möchtest, ja.
| möppi hat Folgendes geschrieben: | | In der Besetzungszahlendarstellung läuft das darauf hinaus, dass ein Skalarprodukt zwischen 2 Basisvektoren 1 ist, wenn beide Vektoren gleich sind (Zustände gleichermaßen besetzt) sonst immer 0. |
Na ja, das ist trivial, da die Basisvektoren identisch mit den Eigenzustände der einzelnen Teilchenzahloperatoren sind.
Ich gehe gerne von der Darstellung mittels Erzeugern und Vernichtern aus. Zunächst ist jeder Fockraumzustand darstellbar als Summe über Eigenzustände der Teilchenzahloperatoren. Im Skalarprodukt tragen nur Eigenzustände bei, die identische Teilchenzahlen aufweisen; alternativ kann man sagen, dass alle Erzeuger vor dem Ket mit den entsprechenden Vernichtern nach dem Bra gepaart sein müssen.
Wenn man so denkt, dann vollzieht man nicht den historischen Weg der Konstruktion des Fockraumes nach, sondern akzeptiert ihn so wie er ist und wendet algebraische Regeln an. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 04. Sep 2015 11:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zustimmung
Na ja, das ist trivial, da die Basisvektoren identisch mit den Eigenzustände der einzelnen Teilchenzahloperatoren sind.
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Ich bin einen Umweg zum Fockraum gegangen und habe angefangen bei den Einteilchenzuständen, deren Handhabung ja bekannt ist. Das mag ein wenig kleinkariert sein, aber ich gebe mich nicht so gerne mit Definitionen zufrieden und hinterfrage immer den Sinn davon und versuche Probleme auf Bekanntes zurückzuführen.
Aber du hast natürlich Recht. Wenn ich zwei Zustände habe, die verschiedene Eigenwerte (Teilchenzahl) zum Teilchenzahloperator haben, dann sind diese Zustände orthogonal und das Skalarprodukt somit 0. Die gesamte Hilbertraum Mathematik setzt allerdings voraus, dass ein Skalarprodukt überhaupt (vernünftig) definiert ist, um deren Regeln anwenden zu können. Bei gleicher Teilchenzahl kann man es sinnvoll definieren und auf Skalarprodukte von Einteilchenzustände zurückführen. Bei ungleicher Teilchenzahl ergibt sich aber der beschriebene Widerspruch, weswegen man im Fockraum die Definition des Skalarprodukts "erweitern" muss. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 04. Sep 2015 11:28 Titel: |
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Das ist nicht kleinkariert, und du hast völlig recht.
| Zitat: | | Die gesamte Hilbertraum Mathematik setzt allerdings voraus, dass ein Skalarprodukt überhaupt (vernünftig) definiert ist, um deren Regeln anwenden zu können. |
Klar. Aber das ist ja sichergestellt dadurch, dass die Zustände
einen Hilbertraum aufspannen.
Es läuft letztlich darauf hinaus, ob man den Fockraum konstruiert und dabei sicherstellt, dass es ein Hilbertraum ist, oder ob man ihn definiert und beweist, dass es sich um einen Hilbertraum handelt.
Geschmacksache. |
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