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physikalischerphysiker
Gast
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 physikalischerphysiker Verfasst am: 18. Apr 2012 20:13 Titel: Skalarprodukt mit zusätzlichem Vektor |
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Moin,
Ich poste mal die ganze Aufgabe:
| Zitat: |
Seien  drei zueinander orthogonale Einheitsvektoren und :
und
drei beliebige Vektoren.
a)
Berechnen Sie \vec{c}) und )
b)
Unter welchen Umständen sind die beiden in Aufgabe a) berechneten Vektoren gleich? (Hinweis: Drücken Sie die Vektoren durch die Beträge und Einheitsvektoren von \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} aus. |
Ok, also ich denke die Aufgabe ist jetzt nicht soo schwer, aber einige Sachen sind mir doch unklar. Was bedeutet das bei a) ? Bedeutet das(bei dem ersten), dass ich das Skalarprodukt von Vektor a und Vektor b mit Vektor c multiplizieren soll? Beim Sk.p. kommt ja eine zahl raus, von daher würde das ja gehen. Aber wenn ich das als Buchstaben aufschreibe kommen komische Sachen raus, also es sieht komisch aus. Macht man das so??
Freue mich über Hilfe 
Gruß |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Apr 2012 21:16 Titel: |
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Schreib doch Deinen Ansatz mal auf, vielleicht komponentenweise.
Schreibversuch 
 \cdot \vec c ) |
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physikalischerphysiker
Gast
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| physikalischerphysiker Verfasst am: 18. Apr 2012 21:43 Titel: |
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Hallo franz
Ok aber das gibt ein riesen Viech :
Ich habs jetzt mal als Matrixform hingeschrieben(der Vektor der in der Aufgabe als erstes berechnet werden soll, also (a *b)*c mit Vektorstrichen, der andere Vektor sieht aber ähnlich aus), soll natürlich ein spalten Vektor sein(hab noch nix mit Matrizen am Hut). e_1 usw. ist jeweils der Einheitsvektor. Ich könnte ja jetzt auch den Einheitsvektor über all ausklammern, und dann als Komponentenform hinschreiben. Aber ob das dann als "ausgerechnet" gilt und wie ich zeigen kann unter welchen umständen die gleich sind weiß ich nicht. Als Hinweis steht ja da das ich die Vektoren durch die Beträge und Einheitsvektoren ausdrücken von den ursprünglichen Vektoren ausdrücken soll. Soll ich dann etwa nochmal das Skalarprodukt von diesen beiden neuen Vektoren bilden??
Gruß |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 18. Apr 2012 23:11 Titel: |
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Ein Skalarprodukt bildet aus 2 Vektoren eine Skalar = eine Simple Zahl.
Wenn du diese Zahl mit einem 3. Vektor multiplizierst, hat dieses eine andere Norm, aber die gleiche Richtung, wie der dritte Vektor.
Du kannst das Produkt einfach ausschreiben und dann die Orthonormalität:
ausnutzen. Dadurch wird aus der Doppelsumme eine Einfachsumme. |
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physikalischerPhysiker
Gast
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| physikalischerPhysiker Verfasst am: 18. Apr 2012 23:36 Titel: |
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Hi Chillosaurus
Du meinst das ich es dann als :
Schreiben kann, ja aber ich muss ja dann diesen Brummer ( ) mit jeder Komponente des Vektors  multiplizieren. Und dort kann ich doch nicht diese Orthonormalität von den Einheitsvektoren benutzen, die kommen ja gar nicht zusammen??
Gruß |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 19. Apr 2012 08:26 Titel: |
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Wenn du das so machst, hast du bereits die Orthonormalität (in den a,b Vektoren benutzt) denn:
Damit dann das erste Ergebnis:
 \sum_{i}c_{i} \vec{e}_{i})
Viel weiter lässt sich nichts vereinfachen.
Weiterhin zu bedenken:
^{t})
Zwar richtig, dass es sich um einen 3 komponentigen Vektor handelt, aber die Einheitsvektoren müssen nicht zwangsweise an deinen Koordinatenachsen liegen. |
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physikalischerPhysiker
Gast
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| physikalischerPhysiker Verfasst am: 19. Apr 2012 13:06 Titel: |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: |
Zwar richtig, dass es sich um einen 3 komponentigen Vektor handelt, aber die Einheitsvektoren müssen nicht zwangsweise an deinen Koordinatenachsen liegen. |
Achso, damit meinst du das ein Zeilenvektor anders sein kann als ein Komponentenvektor weil die Einheitsvektoren auch in andere Richtungen zeigen können?
Ok danke, dann lag ich mit meiner Rechnung wenigstens nicht falsch. Ok und unter welchen Umständen sind die Vektoren gleich?? Also ich denk mal, wenn die Vektoren vielfache von einander sind oder? Dann sind sie ja parallel. Könnte ich das dann durch ein LGS ausdrücken?
Gruß |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 19. Apr 2012 18:54 Titel: |
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| physikalischerPhysiker hat Folgendes geschrieben: | [...]
Achso, damit meinst du das ein Zeilenvektor anders sein kann als ein Komponentenvektor weil die Einheitsvektoren auch in andere Richtungen zeigen können?
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Ja, ich denke, dass hast du richtig verstanden (wobei man allerdings stets das Koordinaten System so drehen könnte, dass diese Vektoren modulo Vorzeichen den Achsen entsprechen).
| Zitat: | | [...] unter welchen Umständen sind die Vektoren gleich?? Also ich denk mal, wenn die Vektoren vielfache von einander sind oder? Dann sind sie ja parallel.[...] |
Das c,a parallel sein müssen ist schoneinmal korrekt.
Da die Einheitsvektoren orthogonal sind, sind sie linear unabhängig.
D.h. für jede Komponente in e_i lässt sich eine eigene Gleichung aufstellen. |
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physikalischerphysiker
Gast
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| physikalischerphysiker Verfasst am: 19. Apr 2012 20:54 Titel: |
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Das heißt ich muss dann so eine Gleichung aufstellen:
 \sum_{i}c_{i} \vec{e}_{i}= k * (b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}+b_{3}b_{c}) \sum_{i}b_{i} \vec{e}_{i})
Und dann das finde? Bzw. wenn es kein k gibt dann sind die Vektoren ungleich? Aber als Hinweis steht ja noch das ich die Vektoren durch die Beträge und Einheitsvektoren von vektor a, und c ausdrücken soll 
Gruß |
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physikalischerphysiker
Gast
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| physikalischerphysiker Verfasst am: 19. Apr 2012 20:55 Titel: |
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das k finden, mein ich sry |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 19. Apr 2012 22:24 Titel: |
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| physikalischerphysiker hat Folgendes geschrieben: | Das heißt ich muss dann so eine Gleichung aufstellen:
Und dann das finde? Bzw. wenn es kein k gibt dann sind die Vektoren ungleich? Aber als Hinweis steht ja noch das ich die Vektoren durch die Beträge und Einheitsvektoren von vektor a, und c ausdrücken soll
Gruß |
Du meinst wohl eher:
 \sum_{i}c_{i} \vec{e}_{i}= (b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}+b_{3}b_{c}) \sum_{i}a_{i} \vec{e}_{i})
insbesondere ist k=1.
Jetzt haben c, a die gleiche Richtung. Also kann man schreiben:
Dabei ist ea der Einheitsvektor in a-Richtung.
nun betrachte man das Skalarprodukt:
\vec{b}=|a||b||c|\, cos(\vec{a},\vec{b}) \vec{e}_a)
Gleiches für das zweite Skalarprodukt. |
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physikalischerphysiker
Gast
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| physikalischerphysiker Verfasst am: 20. Apr 2012 18:08 Titel: |
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Ah ok, wenn k=1 dann sind die ja paralell oder? Könntest du mir noch kurz erklären warum man einen Vektor durch seinen Betrag und Einheitsvektor ausdrücken kann? Also der Ev ist ja (0,1) (oder anders rum) , dann müsste der Vektor ja nur aus einer gleichen Zahl bestehen?(das was beim skalarprodukt raus kommt) ?
Gruß |
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physikalischerphysiker
Gast
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| physikalischerphysiker Verfasst am: 20. Apr 2012 20:51 Titel: |
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Achso, man kann ja immer die Länge eines Vektors haben, und dann den Winkel mit der z.b. x-Achse, ok gut, habs gerafft  Also ich denk dann ist die Aufgabe soweit gelöst. Also vielen Dank Chillosaurus(cooler Name  ) bei der Hilfe, hat mich gefreut Und dann wünsch ich dir noch ein schönes Wochenende !
Lg |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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