| Autor |
Nachricht |
LetsGoQuantum
Gast
|
 LetsGoQuantum Verfasst am: 18. Jul 2011 15:38 Titel: Operatordarstellung von Zuständen |
 |
|
Ich habe gegeben die Operatoren A und B, und zwar mit den Basen (VONS)  und  . Jetzt heißt es, die A-Darstellung von  sei gegeben durch:
 := \langle a_n | \Psi \rangle) ( sind Eigenwerte) (Gleichung 1)
Frage: Wie sieht |  in der B-Darstellung aus?
Also mir will irgendwie nicht einleuchten, was da genau von mir verlangt wird. Die Definition da oben von der "A-Darstellung" ist doch nichts Anderes als das Skalarprodukt von der Wellenfunktion mit den Basisvektoren  , also im Prinzip gibt mir das die Entwicklungskoeffizienten bzgl. der Basis an, oder? Was genau hat das denn jetzt mit Operatoren A und B zu tun?
Wenn Gleichung 1 die A-Darstellung ist, dann ist das hier vermutlich die B-Darstellung:
 := \langle b_n | \Psi \rangle)
Oder nicht? Und nu? Das kann nicht die ganze Aufgabe gewesen sein, 2 Variablen zu ändern. Ich werde nicht schlau daraus. |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 18. Jul 2011 17:48 Titel: |
|
|
Zunächst haben wir die VONS
und die Darstellung der Eins, d.h.
Daraus folgt doch sofort
Soweit klar?
Jetzt kann man den Operator A auf einen beliebigen Zustand anwenden, also z.B.
und damit ist
Ist das auch noch klar?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jul 2011 10:51, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
LetsGoQuantum
Gast
|
| LetsGoQuantum Verfasst am: 18. Jul 2011 18:37 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zunächst haben wir die VONS
und die Darstellung der Eins, d.h.
Daraus folgt doch sofort
Soweit klar? |
Bis hierhin sonnenklar.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Jetzt kann man den Operator A auf einen beliebigen Zustand anwenden, also z.B.
und damit ist
Ist das auch noch klar? |
Hier nicht mehr ganz. Zumindest der 1. Ausdruck nicht (dass der 2. Ausdruck folgt, wenn der 1. gilt, ist natürlich wiederum klar). Wieso kommt auf der rechten Seite der Gleichung ein zusätzliches in den Summenausdruck rein? Das hieße ja quasi A wird dargestellt durch ? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 18. Jul 2011 21:33 Titel: |
|
|
Die Anwendung des Operators liefert mit der Eigenwertgleichung
direkt
\langle a_n|\psi\rangle = \sum_n \alpha_n |a_n\rangle\langle a_n|\psi\rangle)
Man wendet dabei einfach den Operator A auf den rechts davon stehenden Ket an.
Da der gewählte Zustand psi aber völlig beliebig war und dies demnach für alle Zustände im Hilberraum gilt, ist diese Darstellung des Operators zustandsunabhängig, man kann also das psi einfach weglassen:
Die Mathematiker bezeichnen das als Spektralsatz oder Spektraldarstellung; die Physiker verwenden das etwas opportunistisch, insbs. wenn die Eins nicht durch eine diskrete Summe sondern durch eine kontinuierliches Integral gegeben ist, d.h.wenn kein eigtl. VONS mehr vorliegt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jul 2011 10:52, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
LetsGoQuantum
Gast
|
| LetsGoQuantum Verfasst am: 19. Jul 2011 07:49 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die Anwendung des Operators liefert mit der Eigenwertgleichung
 |
Sollte hier nicht eher:
stehen? Also Alpha statt a auf der rechten Seite der Gleichung, denn die Eigenfunktionen sind doch die Basisfunktionen und die Eigenwerte sind als angegeben, oder? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2011 08:02 Titel: |
|
|
Edit: ich habe jetzt in allen meinen Beiträgen die Eigenwerte von a nach \alpha umbenannt, damit ist die Notation innerhalb des Threads konsistent und die Diskussion bzgl. der Notation eigtl. überflüssig.
Das hast du so eingeführt, aber ich sehe den Sinn nicht. Wenn es einen Eigenzustand zu A gibt, den wir |a> nennen, welche andere Information soll denn dann in einem anderen Buchstaben alpha stecken?
Schau dir mal Beispiele an:
Harmonischer Oszillator:
Drehimpuls:
|l>)
Für den Drehimpuls wäre das Label a gleich dem Buchstaben l, der Eigenwert alpha gleich dem Wert l(l+1). Für Operator N im Falle des harmonsichen Oszillators passt meine Konvention. Da wir hier über einen asbtrakten Operator A sprechen, sehe ich nicht, warum ich einen anderen Buchstaben a zum Bezeichnen der Zustände nehmen soll als den Eigenwert alpha
Es ist aber nur eine Konvention, und wenn dir deine besser gefällt, dann ist das auch OK.
Unabhängig davon: ist der Rest klar?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jul 2011 10:54, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
LetsGoQuantum
Gast
|
| LetsGoQuantum Verfasst am: 19. Jul 2011 08:17 Titel: |
|
|
Na ja, da in der Aufgabenstellung als Eigenwerte angegeben waren, bin ich von der Linearen Algebra ( als Eigenwertgleichung, also in der QM dann: "Operator angewandt auf Eigenzustand = Lambda-faches des Eigenzustands, wobei Lambda = Eigenwert und Lambda eben Proportionalitätskonstante) davon ausgegangen, dass es eben Alpha sein muss. Das was du aber stehen hast wäre doch quasi:  , das ist doch keine Eigenwertgleichung? 
Wieso der Rest, unabhängig davon, folgt, ist klar. Dann heißt das jetzt, ich soll einfach das Gleiche mit B als Operator machen (also die B-Darstellung). Wäre das Ergebnis der Aufgabe dann:
 (in deiner Schreibweise ohne Alpha)? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2011 08:27 Titel: |
|
|
| LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: | | Das was du aber stehen hast wäre doch quasi: , das ist doch keine Eigenwertgleichung? ?( |
Ich schreibe das ja auch nicht konkret, sondern abstrakt. Und abstrakt gibt es keinen Unterschied zwischen \alpha und a, es ist reine Konvention; siehe harmonischer Oszillator: da würde auch niemand ein \nu einführen, nur um zu sagen, dass n und \nu immer den selben Wert haben :-)
... | LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: | ich soll einfach das Gleiche mit B als Operator machen (also die B-Darstellung). Wäre das Ergebnis der Aufgabe dann:
(in deiner Schreibweise ohne Alpha)? |
Das wäre die Spektraldarstellung des Operators B.
Die entsprechende Darstellung der Zustände ist jeweils durch die Projektion des allgemeinen Zustandes auf das VONS gegeben, d.h.
 = \langle a_n|\psi\rangle)
 = \langle b_n|\psi\rangle)
Die Projektion links wird in einigen Fällen (wenn es speziell um die x- oder p-Darstellung geht) als Wellenfunktion bezeichnet. Die Projektion bzw. Wellenfunktion \psi stellt dabei ja nur den Entwicklungskoeffizienten bzgl. einer Basis (hier: der a-Basis, d.h. des VONS von A dar:
\,|a_n\rangle )
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jul 2011 08:36, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
LetsGoQuantum
Gast
|
| LetsGoQuantum Verfasst am: 19. Jul 2011 08:35 Titel: |
|
|
Ok, über die Konvention mache ich mir später noch Gedanken. Aber was Grundsätzliches. Was ist jetzt der Unterschied zwischen  in der A- bzw. B-Darstellung und dem Operator A bzw. B in der A- bzw. B-Darstellung?
Das was wir jetzt haben:
ist die B-Darstellung von . Und was ist jetzt die B-Darstellung von A? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2011 09:04 Titel: |
|
|
| LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: |
ist die B-Darstellung. |
Nein, das ist nicht die B-Darstellung, sondern die Spektraldarstellung.
Bisher haben wir nur die A- oder B-Darstellung der Zustände konstruiert, noch nicht die der Operatoren. Die B-Darstellung eines Operators A oder B bezieht sich auf die Anwendung dieses Operators auf die Wellenfunktion in B-Darstellung, nicht auf die abstrakte Spektraldarstellung.
Ein konkretes Beispiel: in der x-Darstellung wirkt der Ortsoperator X nicht auf den Ket |x> sondern auf die Wellenfunktion:
 = x\,\psi(x))
Die x-Darstellung des Impulsoperators lautet
 = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\,\psi(x))
Also betrachten wir das mal für A in der B Darstellung:
Wir wollen so etwas wie
 )
konstruieren.
Wir definieren
 = \langle b_n| A | \psi\rangle)
Einschieben der Eins in der B-Basis liefert
 = \sum_m \langle b_n| A | b_m\rangle\langle b_m| \psi\rangle = \sum_m \left(A_B\right)_{nm} \, \psi_B(\beta_m))
Nun haben wir eine Matrixdarstellung des Operators A bzgl. der Basis B gewonnen. Wir lassen diese Matrix auf die Wellenfunktion in B-Darstellung los. Das ist nach meinem Verständnis die B-Darstellung des Operators A.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Jul 2011 07:22, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2011 10:00 Titel: |
|
|
Nochmal anhand eines konkreten Beispiels:
 = \langle x|P|\psi\rangle)
Zunächst formal das Einschieben der Eins
in x-Darstellung, also
 = \int dy\, \langle x|P|y\rangle\langle y|\psi\rangle = \int dy\, P_X(x,y)\,\psi(y))
Die für A konstruierte Matrix wird dabei hier durch den Kern P(x,y) eines Integraloperators ersetzt.
Nun können wir das aber in diesem Spezialfall tatsächlich ausrechnen, weil wir nämlich die Projektion der x-Eigenzustände auf p-Eigenzustände kennen.
Wir schieben die Eins
in p-Darstellung ein und erhalten
 = \int \frac{dp}{2\pi} \int dy\, \langle x|P|p\rangle\langle p|y\rangle\langle y|\psi\rangle)
Wir verwenden
)
und erhalten
 = \int \frac{dp}{2\pi} \int dy\, p\,e^{ipx}\, e^{-ipy}\,\psi(y) )
Jetzt ein Trick: wir schreiben das p im Integranden mittels einer Ableitung nach x und ziehen diese Ableitung vor das Integral, also
 = \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \int \frac{dp}{2\pi} \int dy\, e^{ipx}\, e^{-ipy}\,\psi(y) )
Das p-Integral können wir nun einfach auswerten
)
Es verbleibt also
 = \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \int dy\, \delta(x-y) \, \psi(y) = \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi(x) )
Damit haben wir für den abstrakten Operator P angewandt auf einen abstrakten Ket \psi die konkrete X-Darstellung hergeleitet. Das einzige, was wir verwendet haben, waren die bekannten ebenen Wellen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
LetsGoQuantum
Gast
|
| LetsGoQuantum Verfasst am: 19. Jul 2011 13:02 Titel: |
|
|
Ich denke, ich hab's so zu 80 % begriffen. Verständnisschwierigkeiten habe ich noch bei dem Teil hier:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Wir wollen so etwas wie
 )
konstruieren.
Wir definieren
 = \langle b_n| A | \psi\rangle) |
"B-Darstellung des A-Operators": Ich hätte jetzt ja gesagt, die B-Darstellung eines beliebigen Kets ist ) . Und darauf dann den A-Operator angewandt: ) . Warum genau hängt jetzt die B-Darstellung von Alpha und nicht von Beta ab? Da bin ich noch nicht ganz hintergestiegen.
Ich denke jetzt einfach mal laut nach: B-Darstellung von :
 = \langle b_n | \Psi \rangle = \sum\limits_{n} \langle b_n | a_n \rangle \langle a_n | \Psi \rangle = \sum\limits_{n} \langle b_n | a_n \rangle \Psi_A(\alpha_n)) |
|
|
Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
|
| Rmn Verfasst am: 19. Jul 2011 13:19 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Wir schieben die Eins
|
Vielleicht wäre es sinnvoller
zu schreiben um dann konsequenter 1 als
zu schreiben. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2011 23:31 Titel: |
|
|
| LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: | | "B-Darstellung des A-Operators": Ich hätte jetzt ja gesagt, die B-Darstellung eines beliebigen Kets ist . |
Richtig!
In meinem Beispiel ist es die Ortsdarstellung der Wellenfunktion, d.h. \psi sowie alle Operatoren, die auf \psi wirken, hängen von x ab.
| LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: | | Und darauf dann den A-Operator angewandt: . |
Auch richtig!
Nur schreibe ich bei A ebenfalls einen Index (in meinem Beispiel x), da es eben nicht das selbe mathematische Objekt ist wie das abstrakte A, das auf die Kets wirkt; und weil es andere Darstellungen geben kann, z.B. ist in meinem Beispiel der Impulsoperator in der Ortsdarstellung durch die Ableitung nach x definiert, in der Impulsdarstellung ist der Impulsoperator natürlich nur einfach die Zahl p.
| LetsGoQuantum hat Folgendes geschrieben: | | Warum genau hängt jetzt die B-Darstellung von Alpha und nicht von Beta ab? Da bin ich noch nicht ganz hintergestiegen. |
Kannst du auch nicht, weil es falsch ist, sorry! Ich habe das im obigen Beitrag korrigiert.
@Rmn: das kann man machen, aber viele Physiker (und Bücher) ziehen die unsymmetrische Notation, wobei 2\pi bei dp steht, vor; das ist Geschmacksache.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
