Übergang zwischen zwei Zuständen

Neutrinowind · Anmeldungsdatum: 01.04.2017 Beiträge: 29

Es hat sich mir eine Frage gestellt, die ich nicht in voller Zufriedenheit beantworten kann.

Betrachten wir ein Wasserstoffatom, dessen Elektron sich in einem Zustand

befindet.
Nun berechnet man die Wahrscheinlichkeit, das Elektron nach einer Zeit t im Zustand

vorzufinden. Dazu berechnet man u.a. das Matrixelement

wobei U(t) der Zeitentwicklungsoperator ist.
In der Regel verwendet man dann als mögliche Anfangs- und Endzustände Eigenzustände des Hamiltonoperators.
Mal angenommen es befinde sich am Anfang in einem Eigenzustand des Hamiltonians. Dann propagiert der Zustand gemäß der Schrödingergleichung.
Hier kommt meine Frage ins Spiel.
Wodurch wird das Wasserstoffatom in den Endzustand gezwungen? Durch die Schrödingergleichung erhöht sich höchstens der Anteil des Endzustands in dem tatsächlichen Zustand, aber der Endzustand wird so nicht erreicht.

Meiner Ansicht nach ist das Wasserstoffatom in realen Experimenten nicht isoliert und der Übergang hat etwas mit der Wechselwirkung mit den umgebenden anderen Wasserstoffatomen zu tun. Aber warum sollten sich die Elektronen ausgerechnet in einen Energieeigenzustand begeben?

Es gibt aber noch eine weitere Frage. Wenn man das Wasserstoffgas erhitzt, so dass die Wasserstoffatome angeregt sind, geben Sie ihre Energie in Form eines spezifischen Spektrums ab, aber dazu müssten die Elektronen sich am Anfang in einem Eigenzustand des Hamiltonians befinden. Warum sollten sich die Elektronen in so einem Zustand befinden und dann tragen auch diese superponierten Zustände für den Übergang in einen bestimmten Endzustand bei.

Ich hoffe mein Verständnisproblem ist klar geworden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18008

Du meinst

Man kann dieses Matrixelement für beliebige Zustände berechen. Es liefert letztlich die Übergangswahrscheinlichkeit je Zustand. Betrachtet man ein vollständiges Orthonormalsystem, so ist die Summe über alle Übergangswahrscheinlichkeiten Eins, d.h. die Übergangswahrscheinlichkeit je Zustand kleiner Eins. An Eigenzuständen ist man deswegen interessiert, weil man beobachtet, dass die Photonenfrequenzen gerade den Energiedifferenzen zwischen Eigenzuständen entsprechen. Dabei sind die Matrixelemente für bestimmte Übergänge "groß", d.h. der Übergang ist wahrscheinlich bzw. erlaubt, für andere "klein" bzw. (fast) Null, d.h. der Übergang ist eher unwahrscheinlich bzw. verboten.

Mit einer Wechselwirkung mit der Umgebung hat das nichts zu tun; man darf hier z.B. das Wasserstoffatom in einem elektromagnetischen Feld betrachten (das entspricht der semiklassischen Näherung; die QM kennt keine Photonen).

Und ja, der Eigenzustand als Endzustand wird nicht nach endlicher Zeit angenommen.

Neutrinowind · Anmeldungsdatum: 01.04.2017 Beiträge: 29

Hallo TomS
ich hatte ein paar Latex-Probleme, die ich jetzt ausgebessert habe.

Neutrinowind · Anmeldungsdatum: 01.04.2017 Beiträge: 29

Hallo TomS,

Danke für deine Antwort.

Bei der Berechnung nimmt man aber doch an, dass der Zustand nach endlicher Zeit mit einer berechenbaren Wahrscheinlichkeit in den Endzustand projiziert wird. D.h. es muss in irgendeiner Form eine Messung stattgefunden haben und Messung kann nur stattfinden, wenn eine Umgebung mit im Spiel ist mit der das System wechselwirkt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18008

Die Messung wird in einführenden Betrachtungen nie quantenmechanisch modelliert

Im einfachsten Fall wird eine Messung postuliert, und diese projiziert den nach der Zeitentwicklung vorliegenden Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit entsprechend der Bornschen Regel auf einen Eigenzustand der gemessenen Observablen.

Neutrinowind · Anmeldungsdatum: 01.04.2017 Beiträge: 29

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18008

Die Messung zu beschreiben ist nicht einfach, und insbs. nicht unumstritten. Der Wikipedia-Artikel ist nicht vollständig, gibt aber einen gewissen Einblick:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanische_Messung

Für die Intensitätsverteilung bzw. die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Atom bzw. einen Übergang ist das jedoch irrelevant. Man berechnet ausgehend von einem präzise definierten initialen Zustand die Zeitentwicklung:

und berechnet dann die Projektionen auf die möglichen Endzustände. Im Falle der Messung der Energie handelt es sich um Energieeigenzustände mit Quantenzahlen n,l,m,s des Wasserstoffatoms. Die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang lautet dann

Eine Modellierung der Messung ist nicht notwendig; die Bornschen Regel wird im Rahmen der Lehrbuch-QM als Postulat eingeführt.