Skalarprodukt Orts-und k-Vektor

Mr test · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe da ein Problem und zwar verstehe ich nicht, wie es sein kann, dass

definiert wird. Das ist doch kein Skalarprodukt oder die duale Paarung im Sinne, dass wir Linearität in x und k haben oder doch?

Meine Ideen:
Liegt es irgendwie daran, dass x und k Basen sind (Eigenzustände)?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Mr test · Gast

Ok, vll ist mein Problem die Notation, weil es so aussieht als würde man eine Zahl rausziehen auf dem Vektor,
z.B. ist ja

nach Definition in unserem Skript, (bzw. mit Konstanten ungleich

)
aber

Konstanten rausziehen ist ja iwie ein Problem.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das verstehe ich nun gar nicht. Setze zunächst hquer = 1 und damit p = k (häufig verwendetes natürliches Einheitensystem in der theoretischen Physik).

Dann sind x und k Dreiervektoren und |x> sowie |k> Vektoren im Hilbertraum. Das Skalarprodukt <k|x> im Hilbertraum führt auf exp[ikx]. Und kx ist nun ein gewöhnliches Skalarprodukt. Beide Skalarprodukte sind Bilinearformen in ihren jeweiligen Vektorräumen.

a und b sind dann beliebige Zahlen.

Mr test · Gast

mein Problem ist die Notation, für Eigenzustände |1>, |2>, |3>, ... kann z.B. nicht gelten, dass |1> + |2> = |1+2>=|3>
und |p>=|hk> ist auch nicht h|k>

ich glaube, dass das mir die Schwierigkeit bereitet, deswegen wäre auch
exp[ikx] + exp[ilx] = |k> + |l> = |k+l> = exp(i(k+l)x)
was ja offensichtlich falsch ist.

ich denke, die Notation könnte mein Problem sein, weißt du was ich mein?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Nochmal: es handelt sich um zwei verschiedene Vektorräume, und in jedem davon liegt die Eigenschaft der Bilinearität vor:

Im Orts- sowie Impulsraum:

Im Hilbertraum:

Vergiss die Notation von oben, sie war sehr verwirrend. Insbs. ist für das oben definierte z

sowie A = a und B = n

Die lineare Superposition zweier Ortseigenzustände |x> und |y> führt nicht auf den neuen Ortseigenzustand |z>.

Die Bilinearität im Orts- bzw. Impulsraum hat nichts mit der Bilinearität im Hilbertraum zu tun. Beide sind unabhängig voneinander gegeben. Letztere gilt für beliebige Zustände, nicht notwendigerweise nur für Eigenzustände.

Mr test · Gast

ok, danke dir!