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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 23. Mai 2015 20:36 Titel: Elektromagnetische Energiedichte und Noethertheorem |
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Hallo!
Die Energiedichte des Elektromagnetischen Feldes hat in natürlichen Einheiten den Wert
)
Ich versuche, dieses Resultat nachzuvollziehen (ich verwende -+++).
Die elektromagnetische Lagrangedichte für ladungs- und stromfreie Systeme ist
Dabei ist ) ,  - \vec B \cdot d \vec S,\, * F = - \vec E \cdot d \vec S - dt \wedge (\vec B \cdot d \vec x)) .
Für ein Killingvektorfeld  bekommt man einen erhaltenen Strom
} - i_X \mathcal L \right)) ,
d.h. 
Speziell für Zeittranslationen  bekommt man so den Energiestrom
 - i^0 \mathcal L \right)) (*)
Die Zeitkomponente ist die Energiedichte _0) .
Um den Term (*) zu berechnen, zunächst:
\,d t)
Da ich erstmal nur an der Zeitkomponente interessiert bin, genügt es,  in der Formel (*) zu betrachten. Zu berechnen ist also zunächst
 )= A_i\,dx^i \wedge ( \frac 1 2 \epsilon_{j k l} E_j\,dx^k \wedge dx^l + dt \wedge \dots)) ,
wobei der Teil ... unwichtig ist, da der Summand nichts zur Zeitkomponente beiträgt. In den nichtverschwindenden Termen ist i=j, also
 )= \frac{\partial \vec A}{\partial t} \cdot \vec E\,dV)
Nun ist  , also wäre der erste Summand  . Und damit wäre die Energiedichte
) .
Nun würde ich mir wegen des Vorzeichens nicht so viele Gedanken machen, zumal ich unterschiedliche Konventionen für den Noetherstrom gesehen habe (die Energiedichte ist natürlich trotzdem positiv). Nun sollte aber an Stelle von  so etwas wie  stehen. Nun ist aber  . Aus der obigen Formel sehe ich aber nicht, wo ich noch ein  herzaubern sollte...
Naheliegend wäre ja, den Fehler bei der Berechnung der Lie-Ableitung zu vermuten. Ich meine aber, sie ist richtig:
 = i^0 d A + d i^0 A = F^{0}{}_{\mu}\,dx^\mu + d (A^0) = (A_\mu{}^{, 0} - A^0{}_{, \mu})\,dx^\mu + A^0{}_{, \mu}\,dx^\mu) .
Hat jemand eine Idee? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 23. Mai 2015 21:56 Titel: |
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So wie du das ableitest sehe ich das auch nicht sofort.
Ich habe immer
gesetzt; und wenn man beachtet, dass
sein muss, dann passt das auch. Außerdem erinnere ich mich, dass du unterschiedliche Energie-Impuls-Tensoren je nach Herleitung erhältst, diese jedoch modulo einer Symmetrie äquivalent sind.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 28. Mai 2015 22:39 Titel: |
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Nochmal vielen Dank für Deine Antwort, TomS! Ich habe bei Thirring noch eine Bemerkung gefunden, daß der mit dem Noethertheorem abgeleitete kanonische Energie-Impulstensor nicht ganz mit dem elektromagnetischen Energie-Impulstensor übereinstimmt: Dort wird vorgerechnet
 = - \frac 1 2 i_X F \wedge *F + \frac 1 2 F \wedge i_X *F - (d i_X A) \wedge * F) .
Der Term  \wedge * F) ist zwar für ladungs- und stromfreie Gebiete exakt und damit letztlich irrelevant, ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen.
Das mit der Hamiltondichte muß ich mir noch anschauen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 02. Jun 2015 08:58 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | Ich habe bei Thirring noch eine Bemerkung gefunden, daß der mit dem Noethertheorem abgeleitete kanonische Energie-Impulstensor nicht ganz mit dem elektromagnetischen Energie-Impulstensor übereinstimmt.
Der Term ... ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen. |
Das ist seltsam. Ich denke eher, der Term müsste einer "reinen Eichung" oder einer Divergenz entsprechen; zumindest ist das immer das Argument, um diverse Terme wegzulassen.
Aber ja, unterschiedliche Ansätze führen auf unterschiedliche Tensoren "modulo einer Eichung" oder "modulo Oberflächentermen".
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Das mit der Hamiltondichte muß ich mir noch anschauen. |
Es ist natürlich auch nicht unmittelbar einsichtig, dass die Legendretransformation sowie die Anwendung des Noether-Theorems auf verwandte Objekte führen ;-)
Bei Eichtheorien ist es außerdem etwas heikel, mit den Constraints umzugehen sowie die Eichsymmetrie korrekt im Hamiltonian zu implementieren. Grob gesprochen dürfen Constraints nicht direkt in H verwendet werden, sondern erst nach der Ableitung der kanonischen Bewegungsgleichungen; andernfalls verliert man die secondary Constraints, in unseren Fall das Gaußschen Gesetz. Ist man jedoch ausschließlich an H als Energiedichte interessiert, dann dürfen Constraints und Eichbedingungen sofort verwendet werden.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 02. Jun 2015 16:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Der Term ... ist aber nicht eichinvariant und wird deshalb weggelassen. |
Das ist seltsam. Ich denke eher, der Term müsste einer "reinen Eichung" oder einer Divergenz entsprechen; zumindest ist das immer das Argument, um diverse Terme wegzulassen.
Aber ja, unterschiedliche Ansätze führen auf unterschiedliche Tensoren "modulo einer Eichung" oder "modulo Oberflächentermen". |
Sorry, das war vielleicht mißverständlich formuliert. Letzteres ist der Fall: Es ist eine Divergenz.
Originalformulierung:
| Zitat: |
Anwendung auf das elektromagnetische Feld. (2.1.7)
Falls J=0 und  , gilt
 \wedge * dA + \frac 1 2 i_v (d A \wedge * d A) ] = d [- \frac 1 2 (i_v F) \wedge * F + \frac 1 2 F \wedge i_v * F - (d i_v A)\wedge *F ] = 0. )
Bemerkungen. (2.1.8)
1. Wie wir sehen, tritt für  neben den in (1.3.22) gegebenen elektromagnetischen Energie-Impuls-Formen  noch ein Term  \wedge *F) auf. Diese 3-Form ist im Falle J=0 exakt,  \wedge *F = d (i_v A \wedge * F) + i_v A \łedge *J) , so daß die Behauptung (2.1.7) ein Spezialfall von (1.3.24) ist. Nur enthält dieser Term nicht allein F, sondern leider auch A, und ist daher eichvariant. Dies steht nicht im Widerspruch zur Eichinvarianz von  (falls J=0): Schon in der Punktmechanik eines freien Teilchens ist der Drehimpuls  nicht translationsinvariant,  aber schon.
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es ist natürlich auch nicht unmittelbar einsichtig, dass die Legendretransformation sowie die Anwendung des Noether-Theorems auf verwandte Objekte führen ;-) |
Das ist es allerdings nicht.^^ Das hieß für mich einfach: Den Hamiltonformalismus kenne ich noch nicht, aber wenn ich mich eingelesen habe, schaue ich mir die Sache nochmal an. Aber ich bin wirklich gut darin, mir solche Dinge über Jahre zu merken. ;) |
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