Energiedichte/Photonen

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Meine Frage:
Hallo alle zusammen! Ich stecke wieder bei einer Aufgabe fest.
Die kosmische Hintergrundstrahlung des Universums ist äquivalent zu einem
Hohlraumstrahler bei einer Temperatur T = 2.7 K. Berechne
a) die Energiedichte des kosmischen Hintergrundes
b) die Anzahl der Photonen die diese in einem Würfel der Kantenlänge a = 1 cm beiträgt

Meine Ideen:
Meine Überlegung dazu wäre, dass man bei a) das plancksche Strahlungsgesetz anwendet und bei b) die Formel für die Leistung P= dE/dt bzw dN/dt= P/E. Aber was soll hier dises a=1? Wie soll ich damit rechnen? Müsste man hier nicht eine andere Formel verwenden? Aber ich kenne keine andere Formel, die diese situation beschreibt. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke schon mal im Voraus!

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hallo,

a) richtig

b) du teilst die spektrale Energiedichte u(f) durch die Energie eines Photons h*f und erhältst damit die spektrale Photonenzahldichte n(f). Integration über alle Frequenzen ergibt dann die Photonenzahldichte und anschließende Multiplikation mit dem Volumen schließlich die Photonenzahl.

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Erstmals danke für deine Antwort. Aber wie soll ich das händisch integrieren, wenn man hier eine e funktion hat? Das plancksche szrahlungsgesetz beinhaltet ja eine e funktion und das Integral bilden ist ja sehr umfangreich. Oder denk ich da jetzt total falsch?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ja richtig, das Integral ist ziemlich kompliziert. Zum Glück kann man es mit ein paar Tricksereien trotzdem lösen. Schau mal hier:

https://en.m.wikipedia.org/w/index.php?oldid=293273084#Appendix

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Danke, nur das Problem ist, dass wir keinen Rechner verwenden dürfen, aber wir müssen trotzdem solche Aufgaben händisch rechnen können. Gibt´s da vielleicht eine andere Variante wie mans lösen kann? Wir haben in der VO auch nicht genau besprochen wie man solche formel integriert, nur kurz angeschnitten haben wir´s.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Ich hab den Link erst jetzt gesehen. Ich schau mir das in Ruhe an und melde mich dann.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Wahrscheinlich erhält man auch eine ganz brauchbare Näherung für die Zahl der Photonen, wenn man einfach die Gesamtenergie in dem Volumen durch h*f_max teilt, wobei f_max die Frequenz ist, bei der die spektrale Energiedichte ihr Maximum besitzt.

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Ich hab mir die Integration angeschaut und konnte es noch nicht ganz nachvollziehen. Könntest du mir vielleicht noch genauer erklären, wie ich das am besten lösen kann? danke!

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ich denke nicht, dass du in diesem Fall das Integral komplett selbst lösen musst. Es reicht bestimmt, wenn du das Integral so umschreibst, dass sie durch geeignete Substitution die obige Gestalt für n = 3 annimmt, sodass du einfach die Formel verwenden kannst. Das Integral ergibt dann Gamma(3)*Zeta(3) =~ 4.2.

Viele Grüße,
Nils

P.S.: die oben angesprochene Näherung funktioniert leider nicht so gut. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist die so ermittelte Photonenzahl dann um einen Faktor 18 zu klein. Hier muss wohl doch exakt rechnen.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Aber was soll ich mit a=1?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Was oben bereits gesagt, führt das Integral zunächst ja nur auf die Photonenanzahldichte. Um auf die Photonenanzahl zu kommen, muss man also noch mit dem Volumen des Würfels V = a³ multiplizieren.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Ich komme beim Integrieren einfach nicht weiter. Vielleicht muss ich mir das noch genauer anschauen.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Also nochmal Schritt für Schritt:

1. Nimm die Plancksche Strahlungsformel für die Spektrale Energiedichte u(f)

2. Die spektrale Photonenzahldichte ist dann n(f) = u(f)/(hf)

3. Integriere nun über alle Frequenzen um auf die ("normale") Photonenzahldichte N zu kommen.

4. Im auftretendem Integral nun folgende Substitution verwenden:

f = kT/h*x, df = kT/h*dx

5. Wenn alles geklappt hat, müsste - bis auf Vorfaktoren - das obige Integral für n = 3 da stehen. Der Wert des Integrals ist 2.4.

6. Für die Zahl der Photonen im Würfel mit der Kantenlänge a folgt schließlich Z = N*a³

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Wenn ich integriere bekomme ich komplett was anderes raus.
Wäre 8𝜋^5(𝑘𝑇)^4/15hc^3 falsch? Also ich schreib mal meine Rechnung auf:
Plancksches Strahlungsgesetz: u(f)=8𝜋hf^3/c^3(e^x -1). Jetzt durch hf teilen--> 8𝜋f^2/c^3*e^x -1. Und wenn ich das integriere bekomme ich: 8𝜋f^3/3c^3*e^x -1.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Was meinst du genau mit ersetzen? Ich hab´ ja nur nach der frequenz abgeleitet.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Na, du hast ja wohl offensichtlich im Exponent der e-Funktion f durch kT/h*x ersetzt (sonst würde da ja nicht e^x stehen). Und die gleiche Ersetzung musst du natürlich an ALLEN Stellen machen, wo f vorkommt. Also auch im Zähler der Strahlungsformel.

Zur Erinnerung: wir wollen das Integral durch Substitution f -> x lösen. In dem zu integrierenden Ausdruck darf dann natürlich kein f mehr vorkommen.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ich meinte folgendes:

Die spektrale Photonenzahldichte ist nach Planck:

Integrieren über alle Frequenzen ergibt die integrale Photonenzahldichte:

Nun wird substituiert:

,

Man erhält:

Mit Hilfe der obigen Formel aus dem Link ergibt dies:

Und die Zahl der Photonen in einem Würfel mit Kantenlänge a ist folglich:

Du musst jetzt nur noch die gegebenen Größen einsetzen.

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Vielen lieben Dank! Ungelogen ich saß schon tagelang an dieser Rechnung. Ich wäre niemals auf die Idee gekommen, die Aufgabe so zu rechnen.. Bin echt dankbar für die ausführliche Erklärung.
Aber ich hätte noch paar Fragen: Muss ich das unbedingt integrieren? Denn man kann ja eine Näherung machen, so haben wir das zumindest immer in der VO gemacht. Und wie hätte man das Integral lösen können ohne jetzt den Link zu verwenden?
Ich schau mir die Rechnung morgen in Ruhe nochmal an und melde mich erneut falls Fragen auftauchen.
Und nochmal: vielen dank für die Hilfe!

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Keine Ursache. Freut mich, wenn es Dir geholfen hat.

Was die Näherung angeht, könnte man beim Integrand

im Nenner die -1 weglassen und nur über

integrieren. Wie man an der angehängten Graphik sieht, ergeben sich dann nur für kleine x-Werte nennenswerte Abweichungen, was für eine Abschätzung allemal brauchbar ist. Das Integral lässt sich dann durch zweifache Produktintegration analytisch lösen und ergibt den Wert 2. Im Vergleich zum Wert 2.4 für das exakte Integral ist das also gar nicht so schlecht.

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Perfekt, vielen vielen Dank! Bis jetzt hab ich alles verstanden. Falls etwas unklar sollte im Nachhinein, kann ich dir dann wieder Fragen stellen?

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Wie zu erahnen war, hab ich doch Fragen.
Ich habe den Rechenweg vom Prof. nicht ganz verstanden und kann die Rechnung irgendwie doch nicht ganz nachvollziehen.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Wo genau liegt das Problem?

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Wie ist man auf den Rechenweg gekommen?

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

ich dachte, dass ich die Rechnung verstanden habe, aber anscheinend kann ichs immer noch nicht. Bin jetzt ziemlich verwirrt.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

bzw. :

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Das ist jetzt war Aufgabenteil a (oben ging es ja in erster Linie um Aufgabenteil b), aber das Vorgehen ist immer gleich: Man kommt von der spektralen Dichte auf die "integrale" Dichte, in dem man über alle Frequenzen integriert. Im auftretenden Integral wird dann wie oben substituiert und dann das Integral gelöst. Entweder von Hand oder indem man die Lösung nachschlägt.

Viele Grüße,
Nils

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Naja, oke danke! Ich schau morgen nochmal drüber, hoffe, dass ichs dann verstehe.