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Nachricht |
Älex
Gast
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 Älex Verfasst am: 25. Apr 2015 16:59 Titel: Dirac-Gleichung und Spin |
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Hallo liebe Community!
In der Vorlesung (Experimentalphysik 4) wurde versucht, den Spin mit der Dirac-Gleichung einzuführen. Dabei wurde versucht, die Gleichung  Lorentz-invariant zu machen, indem man einen Hamiltonoperator  findet, sodass die relativistische Energie-Impuls-Relation erfüllt ist. Das Ergebnis war, dass alpha und beta keine Zahlen sein können, sondern stattdessen  vierdimensional und  und  Matrizen sind. Dann wurde als Beispiel eine ebene Welle in z-Richtung
})
genommen und dann
hingeschrieben mit der Bemerkung "einfach wenn  " und einem Folgepfeil  . Ich verstehe nicht, wieso das stimmen soll. Auf der rechten Seite sollte doch
stehen... (das wäre meine erste Frage: Wie ist diese Zeile zu verstehen?)
Dann meine zweite Frage: Warum wurden psi2 und psi4 "ignoriert"? Als Konsequenz kam dann: Das Elektron ist intrinsisch ein 2-Zustands-System. Wieso kein 4-Zustandssystem?
Ich hoffe, jemand hier kann mir helfen. Ich weiß, was ein Hilbertraum und ein Tensorprodukt ist, theoretische Ausschweifungen sind also okay, wenn sie zur Klarheit beitragen. Andererseits würde ich mir auch eine möglichst einfache Antwort wünschen.
Danke schonmal! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 17:19 Titel: Re: Dirac-Gleichung und Spin |
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| Älex hat Folgendes geschrieben: | Auf der rechten Seite sollte doch
stehen... (das wäre meine erste Frage: Wie ist diese Zeile zu verstehen?)
Dann meine zweite Frage: Warum wurden psi2 und psi4 "ignoriert"? Als Konsequenz kam dann: Das Elektron ist intrinsisch ein 2-Zustands-System. Wieso kein 4-Zustandssystem?
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Nimm mal an, dass psi3 = Konstante* psi1, dann kannst Du die Konstante berechnen und dann die Energie (und erhaelst, das Ergebnis was gegeben wurde).
Jetzt ist die Frage: Wieso darf man einfach 'psi3 = Konstante* psi1' und 'psi2=psi4=0' annehmen?
* Eine pragmatische Antwort ist: Man erhält eine Lösung. Man erhält nicht alle möglichen Lösungen, aber zumindest eine, die mit den Lösungsraum aufspannt.
* Eine etwas tiefergehende (und vermutlich für Dich befriedigendere) Antwort ist: Man kann die Gleichung systematisch Lösen und erhält dann diese Lösung (was aber nicht offensichtlich ist so ohne Rechnung). Wenn Du gern (und sehr gut) rechnest und Zeit hast, kannst Du es selber mal probieren: Finde erst Lösungen für k=0 (also Elektron in Ruhe). Dann booste diese Lösung in ein System mit k!=0.
(Ausführlich steht diese Rechnung z.B. auf den ersten 30-40 Seiten von Bjorken/Drell: "Relativistic Quantum Mechanics") |
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Älex
Gast
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| Älex Verfasst am: 25. Apr 2015 18:41 Titel: |
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Danke dir für die Antwort!
Ich rechne schon gerne mal ein bisschen herum. Aber erstmal muss ich den Stoff verstehen, um nicht den Anschluss zu verlieren und die Übungszettel lösen zu können.
Deswegen glaube ich erstmal, dass das Ergebnis stimmt. Mir ist nur noch nicht klar, was genau geschieht, weil dann da steht, dass ein Elektron durch zwei Zahlen  beschrieben werden muss, wobei die zugehörigen Einheitsvektoren Spin-Up und Spin-Down sind. Aber deine Antwort interpretiere ich so, dass man eigentlich einen Eigenvektor  sucht. Dann sollte doch C festgelegt sein. Ich sehe gerade: Ich habe mich oben in der rechten Spalte der Matrix des Hamilton-Operators vertan. Denn wenn ich mir die Matrix ansehe, sieht sie recht symmetrisch, also sollte sich doch auch ein Eigenvektor der Form  finden lassen, oder?
Also kurzgefasst: Ist es so, dass sie zweite und vierte Komponente Null sein müssen, oder setzen wir sie nur Null, um einen (von beiden?) Eigenvektor zu finden?
Denn du schreibst ja:
| Zitat: | | Man erhält nicht alle möglichen Lösungen, aber zumindest eine, die mit den Lösungsraum aufspannt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 18:52 Titel: |
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| Älex hat Folgendes geschrieben: |
Also kurzgefasst: Ist es so, dass sie zweite und vierte Komponente Null sein müssen, oder setzen wir sie nur Null, um einen (von beiden?) Eigenvektor zu finden?
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Das zweite: Man setzt sie Null um eine Lösung zu finden. Die Lösungen "positiver Energie" beschreibt dann ein Elektron mit Spin up. Die Lösung positiver Energie für Dein zweiten Vektor (mit psi1=psi3=0) liefere die Spin down Komponente des Elektrons.
Analog beschrieben die Lösungen "negativer Energie" die beiden Positron-Zustaende. |
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Älex
Gast
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| Älex Verfasst am: 25. Apr 2015 19:13 Titel: |
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Danke dir vielmals! Jetzt ist mir alles viel klarer.
Jetzt habe ich doch Lust auf die Rechnung bekommen. Für  sind als Eigenwerte  möglich. Die Lösungen positiver Energie werden von ^T, (0, 1, 0, 0)^T) aufgespannt, die Lösungen negativer Energie von ^T, (0, 0, 0, 1)^T) .
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich verstanden habe, wie ich boosten soll. Indem ich
 = \psi (\gamma (x' - v t'), \gamma ( - v x')) = e^{i E v x' / \hbar} \psi(x' - v t', 0))
ausrechne? |
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Älex
Gast
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| Älex Verfasst am: 25. Apr 2015 19:16 Titel: |
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Sorry, hab beim letzten Schritt die Gammas vergessen.
Eigentlich kann es so nicht gehen: |Psi|² muss sich ja wie eine Dichte transformieren. Wenn ich das noch beachten würde, wäre es dann richtig? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 19:32 Titel: |
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| Älex hat Folgendes geschrieben: | Sorry, hab beim letzten Schritt die Gammas vergessen.
Eigentlich kann es so nicht gehen: |Psi|² muss sich ja wie eine Dichte transformieren. Wenn ich das noch beachten würde, wäre es dann richtig? |
Ich weiss nicht ob Du das richtige meinst. Es fehlt noch die Transformation des Spinors selber (deswegen hast Du dann die Relation zwischen psi1 und psi3 von oben). Ausserdem gibt es in Deiner Lösung im Ruhesystem gar keine x-Abhaengigkeit.
siehe z.B. Seite 19 hier:
http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf
(Du musst nur bisschen aufpassen ob die gammas oder alpha/beta benutzen.. aber da ändern sich "nur" ein paar Vorzeichen...) |
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