Deviationsmoment eines allgemeinen Dreiecks

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Meine Frage:
Hallo Leute,

meine Frage dreht sich um das Deviationsmoment eines allgemeinen Dreiecks.
Wieso ist das Deviationsmoment des Dreiecks der nachfolgenden Abbildung

und nicht

. Die richtige Lösung impliziert ja, dass das Deviationsmoment des linken rechtwinkligen Teildreiecks, begrenzt durch (b-a) und h, als negativ, und das Deviationsmoment des rechten Teildreiecks, begrenzt durch a und h, als positiv angenommen wird, um anschließend beide zu addieren. Das Deviationsmoment bezüglich des Schwerpunkts eines Dreiecks ist doch (1/72*)(Grundseite)^2*(Höhe)^2, also positiv.

Meine Ideen:
Die doppelte Integration würde nun als Überprüfung vorgeschlagen werden, doch da komme ich auf (35/1944)*(Grundseite)^2*(Höhe)^2 für das linke rechtwinklige Teildreieck, also genau (8/1944)*(Grundseite)^2*(Höhe)^2 mehr als richtig.

Wo liegt der Fehler?

Bild aus externem Link geholt und als Anhang eingefügt. yellowfur

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Hi!

Danke für die Antwort. Hier ist meine Skizze und Rechnung.
Ich glaube das auch, aber die Geradengleichung der linken oberen Kante ist doch die obere Grenze des inneren Integrals?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Deine Grenzen der y-Integration sind beide falsch, untere und obere.

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Aber weshalb?
Ich fange doch für das linke rechtwinklige Dreieck bei y = -(Abstand des linken Koordinatenursprungs, also des ersten Schwerpunktes von der Grundseite, also von der Höhenkante des ganzen Dreiecks) an und gehe mit der Gerade nach oben?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Die untere Grenze für das rechte Teildreieck ist da wo du die Höhe h eingezeichnet hast. Dir y Koordinate ist nicht -(b-a)/3.

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Du meinst für das linke Teildreieck? Beim rechten sind wir ja noch nicht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Ich verstehe nicht, was du meinst.

Der Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks hat doch die Entfernung von der Grundseite in Länge von einem Drittel der Höhe. Bei unserem Dreieck ist die Höhe (b-a), wenn man h als Grundseite annimmt.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Du willst das Deviationsmoment bezüglich S ausrechnen, nicht bezüglich eines neuen Punktes im linken Teildreieck. Das kannst Du natürlich machen, aber dann musst Du es erst noch umrechnen danach... also eher unnötig mMn...

excentrique · Anmeldungsdatum: 01.04.2015 Beiträge: 7 Wohnort: Darmstadt

Nach dem Satz von Steiner gilt ja, dass sich das Trägheitsmoment aus dem Flächenmoment um die eigenen Schwerachsen und dem entsprechenden Steiner-Glied zusammensetzt.
Für das Deviationsmoment lautet dieses Steiner-Glied: -(Abstand des Teilschwerpunktes vom gesamten Schwerpunkt in y-Richtung)*(Abstand des Teilschwerpunktes vom gesamten Schwerpunkt in z-Richtung)*(Fläche des Teilstückes)
Nun ist bei uns der Abstand für beide Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt in z-Richtung gleich 0, weil alle Schwerpunkte auf der selben horizontalen Achse liegen. Das heißt, dass die Steiner-Glieder 0 sind und man nicht umrechnen, sondern nur die Deviationsmomente beider Teildreiecke für ihre eigenen Schwerpunkte ausrechnen und addieren muss.