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Fufaev
Anmeldungsdatum: 11.10.2012
Beiträge: 60
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 Fufaev Verfasst am: 17. Feb 2015 21:16 Titel: Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta. Alles richtig? |
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Grüße! Mein nächstes Physik-Video wird über Permutationssymbol und Kronecker-Delta sein. Bevor ich jedoch mit der Aufnahme starte, muss ich sicher sein, dass alles fachlich korrekt ist. Könnte bitte mal jemand den Text durchchecken, der sich mit Physik auskennt. Für Ergänzungen u.Ä. bin ich ebenfalls sehr dankbar!
Levi-Civita-Tensor & Kronecker-Delta
Danke im Voraus! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 17. Feb 2015 21:19 Titel: |
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Kurzer Blick nur:
"Wohlgemerkt sind alle Indizes bei den Epsilons unterschiedlich. Ist ein Index gleich, dann vereinfacht sich der Ausdruck:"
Die sind nicht nur gleich im zweiten Fall, es wird auch über diesen gleichen Index summiert. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. Feb 2015 00:41 Titel: |
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Mir war beim flüchtigen Darübersehen nichts aufgefallen, aber der Hinweis von jh8979 ist natürlich berechtigt. Und trotzdem sieht man die Formel immer in der Form...
Mal ein Beispiel:
 ]_i = \epsilon_{ijk} a_j (\epsilon_{klm} b_l c_m) = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) a_j b_l c_m = )
 b - (a \cdot b ) c]_i)
Das Ergebnis ist richtig und bekannt (Graßmann-Identität), also ist  richtig, wenn man es mit Summenkonvention liest. Nach dem Hinweis von jh8979 würde ich aber das dreifache Ergebnis erwarten. Wo ist also der Fehler? Ich habe jetzt eine halbe Stunde darüber nachgedacht und komme zu dem Schluss, dass die Umformung bei "dann vereinfacht sich der Ausdruck" (der erste Summand wird vereinfacht, die anderen beiden unter den Tisch fallen gelassen) falsch ist. Ehrlich gesagt, war sie mir von Anfang an nicht ganz geheuer, aber ich dachte, vielleicht bin ich einfach zu blöd, zu sehen, wieso sie richtig ist.^^ So, wie die Formel
dort steht, behauptet sie ja, dass die Aussage für alle i,j,k,m,n gilt (also ohne Summation über i) und das ist schlicht falsch: Wenn nämlich beispielsweise i=m gewählt wird, erhält man ein Gegenbeispiel, was daran liegt, dass der Term mit  vernachlässigt wurde.
Die interessantere Frage ist, wie man die Herleitung der Identität richtig bringt. Mir fällt keine elegante Variante ein. Vielleicht ist es am einfachsten, einfach zu diskutieren, warum bei Summation über i genau ein i überlebt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 18. Feb 2015 01:21 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Vielleicht ist es am einfachsten, einfach zu diskutieren, warum bei Summation über i genau ein i überlebt. |
Nach Summation über i ist kein i mehr übrig... das ist doch genau das einfache... |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. Feb 2015 02:27 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Vielleicht ist es am einfachsten, einfach zu diskutieren, warum bei Summation über i genau ein i überlebt. |
Nach Summation über i ist kein i mehr übrig... das ist doch genau das einfache... |
Ich glaube, jetzt missverstehen wir uns:
- Die Aussage
, (j) : \epsilon_{i_1 i_2 i_3} \epsilon_{j_1 j_2 j_3} = \det (\delta_{i_m j_n})_{m, n}) (ohne Summenkonvention, falls "zufällig" Indizes gleich sein sollten) ist richtig.
- Die Aussage
 ist im Allgemeinen falsch, die Herleitung dieser Aussage ist fehlerhaft; für geeignete Werte von i ist sie allerdings richtig. Für den Fall, dass die rechte Seite verschieden von Null ist, gibt es genau einen Wert von i, für den die Identität richtig ist.
- Die Aussage
 ist richtig.
Die Frage ist, wie die dritte (richtige) Aussage gezeigt wird. Jedenfalls nicht durch Summation der (falschen) zweiten Aussage über i, was ja einen (falschen) Faktor 3 einbringen würde.
Ich will darauf hinaus, dass es für jede Wahl von j, k, l, m höchstens einen Wert i gibt, für den  ist. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 18. Feb 2015 10:34 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Ich will darauf hinaus, dass es für jede Wahl von j, k, l, m höchstens einen Wert i gibt, für den ist. |
Aah...  |
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Fufaev
Anmeldungsdatum: 11.10.2012
Beiträge: 60
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. März 2015 11:49 Titel: |
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@4:19 – Den Slide finde ich verwirrend. Es geht ja um den Wert von  und z.B. bei "zyklisch" werden ijk, kij, jki aufgelistet. Überleg nochmal, ob das für dich Sinn ergibt. Für mich nämlich nicht: Es geht doch darum, welche Werte i, j und k haben, also sollte dort meiner Meinung nach eher 123, 231, 312 stehen.
(EDIT: Ich sehe gerade, dass du das in deinem Skript auch so stehen hattest.)
@4:52 – dazu muss wohl nichts mehr gesagt werden.
| Fufaev hat Folgendes geschrieben: |
p.s. hab schon das nächste Thema im Kopf, passend zum Roman, den ich gerade lese ! |
Ich finde es toll, dass du diese Videos machst. Manchmal sind sie an ein paar Stellen etwas "ungar", aber du lernst sicher eine Menge bei der Vorbereitung. Ich hoffe aber, du wirst in ein/zwei/... Jahren nochmal einen kritischen Blick auf dieses Video werfen. |
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