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Midna
Anmeldungsdatum: 28.01.2014
Beiträge: 25
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 Midna Verfasst am: 31. Jan 2015 15:10 Titel: Freiheitsgrade eines starren Körpers |
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Hallo,
im Fließbach heißt es, dass es für einen starren Körper aus  Massepunkten stets 6 Freiheitsgrade gibt. Da komme ich aber nicht drauf. Bei drei und vier Massepunkten stimmt das noch, aber bei fünf Massepunkten habe ich als Zwangsbedingungen konstante Werte für die Abstände zwischen den Teilchen
 ,  ,  ,  ,
 ,  ,  ,
 ,  ,
 .
Macht  Zwangsbedingungen und damit  Freiheitsgrade. Ich habe mir auch überlegt, ob nicht vielleicht eines dieser Zwangsbedingungen überflüssig ist, aber dann wüsste ich nicht, welche. |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 31. Jan 2015 19:31 Titel: Re: Freiheitsgrade eines starren Körpers |
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| Midna hat Folgendes geschrieben: | | Bei drei und vier Massepunkten stimmt das noch, aber bei fünf Massepunkten habe ich als Zwangsbedingungen konstante Werte für die Abstände zwischen den Teilchen |
Wenn man sagt 'Starrer Körper', Midna, so meint man all diese Zangsbedingungen - sonst ist er nicht starr. ;)
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 31. Jan 2015 19:50 Titel: |
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@isi: Ich verstehe Deine Antwort nicht. Midna sagt ja nicht, dass sie etwas "gegen" die Zwangsbedingungen hätte, sondern dass man dann nach ihrer Rechnung auf die Freiheitsgrade kommt.
Ich weiß die korrekte Antwort zwar auch nicht, aber ich denke, dass ab einer bestimmten Teilchenzahl einige Zwangsbedingungen redundant werden. Im Eindimensionalen wäre z. B. bei 3 Teilchen klar: Wenn ich den Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten und den Abstand zwischen dem zweiten und dem dritten kenne, dann ist der Abstand zwischen dem ersten und dem 3 schon gegeben und keine zusätzliche Zwangsbedingung mehr. Genau so wird es wohl sein, wenn ich höhere Dimensionen und dafür mehr Teilchen habe, dass irgendwann Zwangsbedingungen so wie so schon durch andere erfüllt sind.
Wie man das jetzt aber mathematisch korrekt aufschreibt, weiß ich nicht. Mein Ansatz wäre also, dass Du Deine 10 "Zwangsbedingungen" auch schon alle durch 9 erfüllen könntest, denke ich...
Gruß
Marco |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 31. Jan 2015 20:16 Titel: |
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Ich meinte das so, dass ein starrer Körper eben nur ein Körper ist, der die Freiheitsgrade x,y,z und die drei Rotationsfreiheitsgrade hat - und sonst nichts.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Midna
Anmeldungsdatum: 28.01.2014
Beiträge: 25
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| Midna Verfasst am: 31. Jan 2015 22:28 Titel: |
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| isi1 hat Folgendes geschrieben: | | Ich meinte das so, dass ein starrer Körper eben nur ein Körper ist, der die Freiheitsgrade x,y,z und die drei Rotationsfreiheitsgrade hat - und sonst nichts. |
Ja, diese alternative Überlegung wäre auch der Grund, warum ein starrer Körper stets 6 Freiheitsgrade hat: 3 Schwerpunktkoordinaten und drei Winkel zwischen dem Ortsvektor des Schwerpunkts und den Koordinatenachsen (waren das die Euler-Winkel?). Fließbach hat aber auch mit eben diesen Zwangsbedingungen argumentiert.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß die korrekte Antwort zwar auch nicht, aber ich denke, dass ab einer bestimmten Teilchenzahl einige Zwangsbedingungen redundant werden. Im Eindimensionalen wäre z. B. bei 3 Teilchen klar: Wenn ich den Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten und den Abstand zwischen dem zweiten und dem dritten kenne, dann ist der Abstand zwischen dem ersten und dem 3 schon gegeben und keine zusätzliche Zwangsbedingung mehr. Genau so wird es wohl sein, wenn ich höhere Dimensionen und dafür mehr Teilchen habe, dass irgendwann Zwangsbedingungen so wie so schon durch andere erfüllt sind. |
Nun, diese Überlegung hatte ich auch gemacht, haut aber nicht wirklich hin. Das sieht man ja schon an Deinem Beispiel mit drei Massepunkten: wenn ich nur 2 Zwangsbedingungen hätte, hätte ich  Freiheitsgrade. Bei vier Teilchen ( ) wären es schon 8, da ich vier konstante Verbindungslinien brauche, um den Körper starr zu halten. Anscheinend braucht man aber auch noch die anderen beiden Verbindungslinien, um auf 6 Freiheitsgrade zu kommen.
Sonst müsste ich mal Montag meinen Prof. fragen. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 31. Jan 2015 22:34 Titel: |
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Mal überlegen: Für N Teilchen hätten wir (N-1)+(N-2)+...+1 Bedingungen, also ) . Und ) wird jedenfalls im Allgemeinen nicht 6 sein.
Mir fällt spontan ein Fünfteilchensystem ein, bei dem ich auf eine Zwangsbedingung verzichten könnte: Man setze einem Tetraeder an einer Ecke noch einen "Zipfel" auf, dann sagt mir meine Intuition jedenfalls, dass ich den Zipfel nur an drei der übrigen Punkte befestigen muss.
Eine holonome Zwangsbedingung ist formal eine Einschränkung des Konfigurationsraums auf eine Untermannigfaltigkeit. Der Zugang über Gleichungen wird mit dem Satz vom regulären Wert gerechtfertigt (zitiert aus Königsberger Analysis 2):
Def.: Ein Punkt  heißt ein regulärer Punkt der differenzierbaren Abbildung  , wenn das Differential : X \to Y) surjektiv abbildet. Ferner heißt ein Punkt  ein regulärer Wert von f, wenn alle ) reguläre Punkte sind.
Satz: Es sei eine C1-Abbildung von einer offenen Teilmenge  und ) die Niveaumenge zu einem regulären Wert  . Ist M nicht leer, so ist M eine Untermannigfaltigkeit von X der Dimension  .
Damit das Differential surjektiv abbildet, muss die Jacobi-Matrix vollen Rang haben.
Überprüfen wir doch mal, ob die Bedingungen redundant sind: Wir haben die Gleichungen
 }, x^{(n)} ) = (x_1^{(m)} - x_1^{(n)})^2 + \dots - r_{m n}^2 = 0)
Wir haben ) Gleichungen und  Variablen, das heißt, die Jacobi-Matrix hat die Ausmaße ) \times (3 N)) . Für  > 3 N \Leftrightarrow N-1 > 6 \Leftrightarrow N > 7) kann sie nicht vollen Rang haben. Es dürfte also klar sein, dass es eine Teilchenzahl geben muss, ab wo es Probleme gibt.
Warum haben wir aber schon Probleme bei N=5? Ich habe gerade gefühlt lange darüber nachgedacht, aber die Antwort ist eigentlich einfach: Wir wollen ja noch Translations- und Rotationsfreiheit haben, also müssen wir sicherstellen, dass  \geq 6) , wenn wir diese Freiheit nicht kaputtmachen wollen (es sind ja Zwangsbedingungen denkbar, die diese zerstören). Welch Zufall, dafür muss  sein: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%283%2AN+-+%281%2F2%29%2AN%2A%28N-1%29+%3D+6%2C+N%29 .
Ich muss gerade daran denken, wie es ist, Herrnhuter Sterne zusammenzubasteln: Da muss ich eine Spitze auch nicht an allen anderen befestigen. Das wäre ja auch schlimm: Ich könnte nichts mehr leimen, ohne die ganze Welt einzukleistern...
Ich würde nicht alles so ernst nehmen, was im Fließbach steht. 
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 01. Feb 2015 02:15, insgesamt einmal bearbeitet |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 31. Jan 2015 22:41 Titel: |
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| Midna hat Folgendes geschrieben: | | Nun, diese Überlegung hatte ich auch gemacht, haut aber nicht wirklich hin. Das sieht man ja schon an Deinem Beispiel mit drei Massepunkten: wenn ich nur 2 Zwangsbedingungen hätte, hätte ich Freiheitsgrade. |
Nein, das stimmt nicht! Ich hatte extra von "eindimensional" geschrieben. Wenn Du 3 Teilchen im dreidimensionalen Raum hast, ist deren Position mit zwei Abständen noch nicht beschrieben. Erst bei 5 Teilchen kann ich eine Weg lassen. Denke in 3 Dimensionen!
Vielleicht kann man das sich so vorstellen: Bis 4 Teilchen sind wir ja noch klar. Wenn jetzt ein weiteres dazu kommt, dann brauchst Du nur noch drei Abstände von drei der vier schon vorhandenen Teilchen angeben und die Position des 5. ist fest definiert. Immer wenn Du noch eines dazu nimmst, brauchst Du immer nur 3 Abstände zu irgendwelchen schon vorhandenen, um die Position des neuen zu bestimmen.
Daraus könnte man sicher einen vollständigen Induktions-Beweis aufbauen...
Gruß
Marco |
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