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JJJane
Anmeldungsdatum: 05.01.2015
Beiträge: 11
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 JJJane Verfasst am: 05. Jan 2015 18:54 Titel: Beschleunigung als Funktion der Zeit [a=a(t)] |
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Hallo,
Ich habe nächste Woche eine Prüfung in Kinematik und ein Verständnisproblem: mir sind die diversen kinematischen Gleichungen klar, soweit es sich um gleichförmige (v = const) oder gleichmäßig beschleunigte (a = const) Bewegungen handelt.
Nun habe ich aber Aufgaben, in denen ich die v bzw. s ermitteln soll, bei denen a aber als Funktion der Zeit (oder aber auch der Geschwindigkeit oder des Weges, dazu dann vielleicht etwas später) angegeben ist.
Mir ist klar, dass ich a über t integrieren muss, um auf v(t) zu kommen bzw. nochmals integrieren muss, um auf s(t) zu kommen.
Ich habe in einem Buch eine Lösung dafür gefunden, verstehe diese aber nicht, weil ich Probleme habe, die verwendete Notation zu verstehen.
Also:
1.
 )
soweit so gut.
2.
}{\dd t} )
auch klar und daher auch klar, dass wenn ich von a zu v will, ich über die Zeit integrieren muss.
3. Und jetzt wird es unklar:
v(t) = integral dv = integral a(t) dt + C1
Dass C1 dabei v0 ist, ist mir wiederum klar.
Was bedeutet dieses "integral dv"? Meint das nur, dass v(t) gleich ist dem Integral seiner Ableitung (weil Umkehrfunktion)?
4. Ebenfalls unklar:
s(t) = integral ds = integral v(t) dt + C2
Dass C2 dabei s0 ist, ist mir wiederum klar.
Was bedeutet dieses "integral ds"? (analog siehe oben)
Wenn das mal klar ist, werde ich mir erlauben, weiterzufragen, weil das dann noch etwas komplexer zu werden scheint.
Besten Dank für Eure Hilfe,
JJJ[/latex] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 05. Jan 2015 19:15 Titel: |
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Als unbestimmtes Integral kann man schreiben
 = \int dt \, v(t) + C)
Die Umkehrung
 = \frac{ds}{dt})
ist damit erfüllt; C fällt beim Differenzieren weg.
In dieser Form sind die Gleichungen meist nicht sehr sinnvoll. Üblicherweise verwendet man ein bestimmtes Integral, wobei die obere Grenze der aktuellen Zeit t und die Untergrenze dem Beginn des Betrachtungszeitraums entspricht; häufig 0 oder t_0.
 = \int_{t_0}^t dt \, v(t) + s_0)
Die Umkehrung folgt dann mittels Ableiten nach der oberen Grenze.
******
Die andere Schreibweise ist eigtl. trivial; du integrierst die Funktion 1 über ds; das Ergebnis ist s
Ableitung erfolgt jetzt nach s.
******
Der Zusammenhang folgt mittels Substitution: man substituiert im Integral die Integrationsvariable s durch t und fasst s(t) als Funktion von t auf. Die Grenzen werden ebenfalls substituiert.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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JJJane
Anmeldungsdatum: 05.01.2015
Beiträge: 11
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| JJJane Verfasst am: 05. Jan 2015 19:40 Titel: |
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Hallo TomS,
Danke einmal für Deine Hilfe. Den Unterschied zwischen den bestimmten und unbestimmten Integralen habe ich verstanden. In diesem Sinne ist die Notation natürlich unvollständig, weil bei den Integralen nach dt eigentlich immer ein t0 und ein t dabeistehen sollte.
Habe ich das dann aber richtig verstanden, dass dieses
=\int \! dv \
<br />
)
eben nichts anderes bedeutet, dass die v (als Funktion der Zeit) das Integral der Ableitung ist (eben Umkehrfunktion)?
Sollte es nicht richtigerweise heißen
=\int_{t0}^t \! dv \, \dd t
<br />
)
Es geht mir primär nur um das Verständnis der Notation, wobei ich gesehen habe, dass Du den Faktor, nach dem Du integrierst immer gleich direkt an das Integral-Zeichen dranscreibst, wohingegen wir das immer nach dem Internaten anführen...
Danke,
JJJ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 05. Jan 2015 22:31 Titel: |
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| JJJane hat Folgendes geschrieben: | Habe ich das dann aber richtig verstanden, dass dieses
eben nichts anderes bedeutet, dass die v (als Funktion der Zeit) das Integral der Ableitung ist (eben Umkehrfunktion)? |
Schreib formal einfach mal
denn in dieser Form ist doch gar nicht klar, dass v überhaupt eine Funktion sein muss; und wenn, dann ist nicht klar, was die Variable sein soll, t, s, ...
| JJJane hat Folgendes geschrieben: | Sollte es nicht richtigerweise heißen
|
Wie kann denn das "d" zweimal im Integral stehen? Was soll das bedeuten?
| JJJane hat Folgendes geschrieben: | | ... wobei ich gesehen habe, dass Du den Faktor, nach dem Du integrierst immer gleich direkt an das Integral-Zeichen dranschreibst ... |
Letztlich ist das reine Konvention. Viele schreiben das so, um anzuzeigen, dass das
zusammengehört.
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