Transformation von thermodyn. Potentialen

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

es geht um thermodyn. Potentiale:

Das großkanonische Potential (GK-P) ist abhängig von (T, µ, V). Leiten sie aus dem GK-P das Potential mit (T, µ, p)-Abhängigkeit her. Geben sie die differentielle Form ebenfalls an und benennen sie die thermodyn. Kraft.
Das GK-P lautet:

Diese Herleitung soll mittels Legendre-Transformation gemacht werden. Dazu müsse ich ja das GK-P ja nach dem Volumen ableiten, oder?
Aber wie muss ich dann weiter machen?

Grüße
scaer

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

http://de.wikipedia.org/wiki/Thermodynamisches_Potential#Beschreibung

Hilft das schon weiter?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi

Danke für die Antwort.
Diesen Artikel habe ich auch gelesen, jedoch unbedingt geholfen hat er nicht. Ist die dort gemachte Transformation eine Legendre-Transformation?

Mit dem Zusammenhang d(TS), der dort angegeben ist komme ich leider nicht wirklich weiter. Omega schreibe ich jetzt als O. O=-pV

Also dachte ich: d(pV)=Vdp + pdV
Eingesetzt ins totale Differential (mit S und N und p eingesetzt)

D(O + pV) = -S dT - Ndmu - Vdp

Laut Wikipedia hat aber auch das neue Potential noch die innere Energie U drinnen.

Wo liegt also mein Fehler?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Naja, es muss schon irgendwo ein Fehler drinnen sein. In deinem Link ist das K-Potential von T, µ und p abhängig. Das sollte also dann mein gesuchtes sein.

Leider komme ich aber nicht genau auf das bei Wiki angegebene Potential:

Bei Wiki:

bzw.

Ich habe in meinem vorhergehenden Post folgendes stehen (O = \Omega):

Ich habe also in dK ein - beim Vdp, wo ein + sein müsste und ich bekomme in die integrierte Form von dK, also K, kein U rein.

Könntest du so nett sein und mir wegen dem Vorzeichen und dem U noch mal helfen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Beim Vorzeichen hast Du irgendeinen Rechenfehler gemacht:
d(pV) = dp*V + p*dV
der erste Term ist der den Du willst, der zweite cancelt mit dem aus dOmega.

Ich versteh Dein Problem mit dem U nicht:
K = Omega + p*V = (F - mu*N) + p*V = ((U - T*S) - mu*N) + p*V

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi,

ja, du hattest recht, Habe den Vorzeichen Fehler gefunden. Ich habe nun in differentieller Form, was auch mit Wiki übereinstimmt:

d(Omega + Vp) =: dK = - S dT - N dµ + V dp

Mit der Frage nach dem U meine ich, wie ich von dK

dK = - S dT - N dµ + V dp

zu folgendem Ausdruck für K komme:

K = U - TS - pV - µN

Durch Integration komme ich problemlos auf die Terme: - TS - pV - µN
Nur das U bekomme ich nicht rein. Ich darf nämlich nicht von K = Omega + pV ausgehen, da dies noch unbekannt ist.

Wie bekomme ich also das U in der integralen Form hinein?
Hoffe, es ist jetzt verständlicher...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Du kennst doch das gross-kanonische Potential... irgendwo muss man ja starten...

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, da hast du recht. Aber wie bekomme ich mit dem Omega und dem dK ein U ins K?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hat sich gerade erledigt. habe einfach einen Zusammenhang für dU nicht gekannt.

Nun ist die Frage noch, wie komme ich an die thermodynamischen Kräfte?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Danke für Die Hilfe. Nun passt alles. Die Kräfte sind einfach die thermodynamischen Größen, wie z.B. S.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583