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Emily
Gast
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 Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 11:30 Titel: Coulomb Eichung |
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Meine Frage:
Könnte mir bitte jemand einfach erklären, was man unter Coulomb Eichung versteht? Welchen Einfluss hat diese Eichung auf das magnetische Feld?
Meine Ideen:
Die Bestimmungsgleichungen (Coulomb Eichung):
 = \mu _0 \vec{j} - \frac{1}{c²} \frac{\partial }{\partial t} (\vec{\nabla } \Phi )= \mu _0 \vec{j_{trans}} )
Ich weiß, dass die Coulomb Eichung verlangt, dass das Vektorpotential transversal ist (grad A=0)---- das bedeutet das? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 13:46 Titel: |
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Ich hab jetzt mal ein bißchen weiter ausgeholt. Vielleicht ist das ja hilfreich. Um mir die Schreibarbeit zu erleichtern habe ich alle vorkommenden Konstanten gleich eins gesetzt.
Elektromagnetsiche Potentiale
Eichung und Eichinvarianz hat etwas damit zu tun, daß man die Maxwellgleichungen mit Hilfe von Potentialen für das E- und B-Feld ausdrückt. Diese Potentiale werden so definiert, daß die beiden quellenfreien Maxwellgleichungen automatisch erfüllt sind. Man macht sich dabei zunutze, daß bestimmte zweimalige Anwendungen des Nabla-Operators immer automatisch null ergeben. Insbesondere  und  .
Aus der ersten der beiden quellenfreien Maxwellgleichungen
also der Divergenzfreiheit von B, folgt dann, daß man das Magnetfeld über ein Vektorpotential
ausdrücken kann. Aus der zweiten folgt durch Einsetzen dieses Potentials für B, daß die Rotation von  verschwindet, d.h. der Gradient eines Skalarfeldes ist
Eichung
Soweit zur Einleitung. Nun kommen wir zum Begriff Eichung. Darunter versteht man eine Transformation der beiden Potentiale  , die die elektrischen und magnetischen Felder eben nicht ändert. Die Antwort auf deine zweite Frage lautet also schon mal, daß die Coulomb-Eichung gar keinen Einfluß auf das Magnetfeld hat.
Wie solche erlaubten Transformationen aussehen, kann man sich leicht anhand der Definition der Potentiale klar machen.  ändert sich nicht, wenn man zu A den Gradienten einer beliebigen Funktion  addiert, denn  = \nabla\times\vec{A} + \underbrace{\nabla\times\nabla\chi}_{=0}=\vec{B}) .
Die Gleichung für E bleibt dann nur ungeändert, wenn man von  die Zeitableitung derselben Funktion subtrahiert. Erlaubte Eichtransformationen sind also
Coulomb-Eichung
Der Sinn der Einführung dieser Potentiale ist nun, daß sie die quellenfreien Maxwellgleichungen automatisch erfüllen. Man muß also nur noch die verbleibenden zwei Gleichungen für ein Vektorfeld A und ein skalares Feld phi lösen, anstatt vier Gleichungen für zwei Vektorfelder. Die verbleibenden Maxwell-Gleichungen lauten mit Hilfe der Potentiale ausgedrückt übrigens
und
= \vec{j},)
was erstmal komplizierter aussieht als vorher. Da man sich aber eigentlich nicht für die Potentiale A und phi, sondern für die Felder E und B interessiert und da E und B sich durch Eichtransformationen nicht ändern, kann man jetzt die vorhandene Eichfreiheit benutzen um sich die Gleichungen einfacher zu machen. Mit der Coulomb-Eichung fordert man ja  . Du siehst sofort, daß damit die erste Gleichung von der zweiten entkoppelt und das Potential phi kommt darin nur noch alleine vor. Und noch besser: es erfüllt genau dieselbe Gleichung (Poisson-Gleichung) wie in der Elektrostatik! Insbesondere kennt man ja auch die Lösung schon aus der Elektrostatik, nämlich
 = \int\frac{\rho(\vec{y}, t)}{\|\vec{x}-\vec{y}\|}\dd^3 \vec{y})
(Die Ähnlichkeit -- bis auf die zusätzliche t-Abhängigkeit -- zur Elektrostatik, ist übrigens auch der Grund für die Bezeichnung Coulomb-Eichung.) Also ist man schon mal ein Stück weiter. Natürlich muß man auch noch die zweite Gl. lösen. Wenn man aber phi schon gefunden hat, reduziert sie sich auf eine inhomogene Wellengleichung in A, die ebenfalls recht gut verstanden ist.
Streng genommen muß man immer noch prüfen ob für die Eichbedingung (in diesem Fall also  ) tatsächlich eine Transformation für A und phi existiert, die sie erfüllt. Man geht also von beliebigen Felder A und phi aus und sucht eine Funktion , so daß
und
wobei die transformierten Felder die Eichbedingung  erfüllen. Dies liefert im allgemeinen eine Bedingung an . In diesem Fall muß die Poisson-Gleichung
für ein vorgegebenes A erfüllen. Diese ließe sich also prinzipiell wieder nach den aus der Elektrostatik bekannten Methoden lösen. Das muß man aber eigentlich nie tun. Wichtig ist nur, daß man weiß daß solche Lösungen existieren, woraus man schließen kann, daß die Coulomb-Eichbedingung erfüllbar ist.
Ich wollte eigentlich noch was zur Transversalität schreiben, aber jetzt ist es schon so viel geworden. Wir können aber später vielleicht nochmal darauf zurückkommen. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 14:15 Titel: |
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Wow! Schon mal danke für die ausführliche Antwort. Bin noch am lesen :-) |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 14:57 Titel: |
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Das verstehe ich nicht:
und
Wie kommst du darauf? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 15:20 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Das verstehe ich nicht:
und
Wie kommst du darauf? |
Das ist sehr viel rumgerechne mit Hilfe von Identitäten aus der klassischen Vektoranalysis. Die erste Gl. ist noch einfach: Wir setzen einfach  in die Maxwellgleichung
ein. Kommt also raus (man nimmt immer an, daß man Zeitableitung und nabla vertauschen kann)
 = -\nabla\cdot\nabla\phi - \partial_t\nabla\cdot\vec{A}= \rho)
Mit der Deifinition des Laplace-Operators ergibt das genau die erste Gl.
Für die zweite muß man nun beide Potentiale in die verbleibende Maxwellgl. einsetzen. Aus
wird also
 - \partial_t(-\nabla\phi - \partial_t\vec{A}) = \vec{\jmath})
Das muß man nun umformen. Ist ein bißchen eklig zu rechnen. Ich habs aus dem Jackson abgeschrieben. |
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