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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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 scaer93 Verfasst am: 23. Dez 2013 14:29 Titel: Potentiale in Coulomb- und Lorenz-Eichung? |
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Hallo,
Mir ist klar, was es mit den Eichungen auf sich hat.
Leider ist mir folgendes nicht klar. Könnt ihr mir das erklären?
Seien folgende Potentiale (skalar und Vektorwertig) gegeben:
 = \phi_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)})
 = \vec{A}_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)})
Es sollen folgende 2 Beziehungen gelten:
Außerdem sollen beide Potentiale in Coulomb-Eichung darstellbar sein.
Ich kenne folgende Formeln:
)
Meine Fragen und Ideen:
Um die Kreuzproduktbeziehungen nachrechnen zu können, muss ich ja E und B berechnen. B ist kein Problem, jedoch die Zeitableitung von A schon.
1. Wie berechne ich die Zeitableitung meines Vektorpotentials A?
Für das B-Feld komme ich auf folgendes:
} \cdot (\vec{A}_0 \times \vec{k}))
Stimmt das?
Dann möchte ich das skalara Potential und das Vektorpotential Coulomb eichen.
2. Wie mache ich das?
Grüße |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 23. Dez 2013 18:49 Titel: Re: Potentiale in Coulomb- und Lorenz-Eichung? |
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| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
Wie berechne ich die Zeitableitung meines Vektorpotentials A?
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Das scheint mir jetzt kein allzugroßes Problem zu sein
=-i\omega \vec{A}_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)})
| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
Für das B-Feld komme ich auf folgendes:
Stimmt das? |
Ich meine eher so
} \cdot (\vec{k}\times \vec{A}_0))
| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
Dann möchte ich das skalara Potential und das Vektorpotential Coulomb eichen
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Da wird das skalare Potential doch garnicht verändert |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 23. Dez 2013 19:33 Titel: Re: Potentiale in Coulomb- und Lorenz-Eichung? |
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| scaer93 hat Folgendes geschrieben: | | Dann möchte ich das skalara Potential und das Vektorpotential Coulomb eichen. |
Die Coulombeichung entspricht der Bedingung
 = 0)
D.h. du berechnest für dein gegebenes Potential
die Divergenz.
Wie lautet dann die Bedingung für die Coulombeichung?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 23. Dez 2013 19:52 Titel: |
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Hi, danke für die Antworten.
1. Zur Zeitableitung:
Ich dachte, ich müsste eine Totale Zeitableitung machen. Ist das x also nicht ein x(t)? Wenn ja, müsste ich das doch mit ableiten, für A-Punkt, oder?
2. B-Feld: Stimmt, da habe ich falsch geschaut. Du hast natürlich recht.
3. Eichung: Das ich das skalare Potential eichen soll, hat mich auch erstaunt. Freut mich aber, dass ich dann doch gedanklich richtig lag. Das heißt phi = phi ' ?
Für die Coulomb-Eichung muss dann gelten:
mit f skalare Funktion, die ich dann bestimmen muss und A' wäre dann mein neues A in Coulomb-Eichung, richtig?
Grüße |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 23. Dez 2013 21:17 Titel: |
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Zur Eichung: nein, es ist viel einfacher. Du musst genau das machen, was ich geschrieben habe: die Divergenz des gegebenen Potentials berechnen und die Eichbedingung wieder hinschreiben
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 24. Dez 2013 00:07 Titel: |
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| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
3. Eichung: Das ich das skalare Potential eichen soll, hat mich auch erstaunt. Freut mich aber, dass ich dann doch gedanklich richtig lag. Das heißt phi = phi ' ?
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Wenn ich mich nicht irre, liegst Du da falsch (und jmd auch), auch wenn ich es nicht explizit nachgerechnet hab. I.A. ändert sich bei einer Eichung des Vektorpotentials auch das skalare Potential, insbesondere wenn die Eichfunktion zeitabhängig ist, was sie hier ist.. zumindest auf den ersten Blick.. und auf den zweiten sicher auch.
PS: Es kommt im übrigen darauf an, was genau verlangt ist. Ist eine Bedingung gesucht, so dass die Potentiale in Coulomb Eichung vorliegen, oder sollen die Potentiale geeicht werden, so dass sie in Coulombeichung vorliegen? Ersteres ist eine Zeile, zweiteres etwas mehr. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 08:36 Titel: |
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Man soll die entsprechenden Potentiale in Coulomb-Eichung explizit angeben.
Aber wie genau soll das dann beim skalaren Potential funktionieren? In den Coulomb-Eichbedingungen ist doch nur von dem A die rede…? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 24. Dez 2013 08:56 Titel: |
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Bestimme die Funktion f, wenn sie Zeitabhängig ist, ändert sich auch das skalier Potential unter Eichung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2013 08:59 Titel: |
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Ich halte das für irreführend.
In der Coulombeichung gilt
Für das gegebene Potential
lautet die Divergenz
 = i\vec{k} \vec{A}_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)})
Das Potential erfüllt also bereits die Coulombeichung, wenn
gilt
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 24. Dez 2013 09:09 Titel: |
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Richtig, aber folgt das aus den oben angegebenen Beziehungen schon? Ich finde das nicht offensichtlich,aber hab auch nicht versucht es nachzuprüfen. Wenn nicht, muss wirklich geeicht werden...
EDIT: Ich denke sogar dass es nicht aus den Bedingungen für E und B folgen kann. Diese gelten für EM-Wellen in beliebiger Eichung, egal wie ich A0 wähle... aber ich mag mich täuschen.
EDIT2: Falls Du meinst, das man f geschickter bestimmen kann, als die Poisson-Gleihung explizit zu lösen, da geb ich Dir recht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2013 09:34 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Richtig, aber folgt das aus den oben angegebenen Beziehungen schon? Ich finde das nicht offensichtlich,aber hab auch nicht versucht es nachzuprüfen. Wenn nicht, muss wirklich geeicht werden... |
Es folgt nicht aus den genanten Bedingungen.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | EDIT: Ich denke sogar dass es nicht aus den Bedingungen für E und B folgen kann. Diese gelten für EM-Wellen in beliebiger Eichung, egal wie ich A0 wähle... aber ich mag mich täuschen. |
Ich denke, dass du recht hast
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | EDIT2: Falls Du meinst, das man f geschickter bestimmen kann, als die Poisson-Gleihung explizit zu lösen, da geb ich Dir recht. |
Ich denke, dass meine letzte Gleichung ausreicht, um die Coulombeichung zu erzwingen. Es genügt, bei gegebenen k und A_0 ein neues A'_0 zu konstruieren, dass der Transversalitätsbedingung genügt.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 24. Dez 2013 09:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich denke, dass meine letzte Gleichung ausreicht, um die Coulombeichung zu erzwingen. Es genügt, bei gegebenen k und A_0 ein neues A'_0 zu konstruieren, dass der Transversalitätsbedingung genügt. |
Das mag sein, aber in jedem Fall ändert sich das skalare Potential auch bei der Umeichung. Darauf wollte ich hauptsächlich hinweisen, da in den Beiträgen der anderen gegenteiliges behauptet wurde. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 09:49 Titel: |
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| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
Für die Coulomb-Eichung muss dann gelten:
mit f skalare Funktion, die ich dann bestimmen muss und A' wäre dann mein neues A in Coulomb-Eichung, richtig?
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Danach habe ich nun ein f ermittelt:
})
Frage ist jetzt natürlich noch: Wie komme ich nun explizit an das skalare Potential? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 24. Dez 2013 09:55 Titel: |
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Wie ändert sich denn das skalier potential unter Eichung? |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 09:56 Titel: |
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Das weiß ich eben nicht und finde es auch nirgends. Deshalb frage ich ja hier... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2013 10:01 Titel: |
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Nun, die Eichtransformation lautet
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 10:07 Titel: |
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Ah, ok. danke sehr.
Es kamen zwar Eichungen dran, aber eben nur die Formel für das Vektorpotential.
Danke für die Hilfe und Frohe Weihnachten… |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 24. Dez 2013 11:46 Titel: Re: Potentiale in Coulomb- und Lorenz-Eichung? |
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| scaer93 hat Folgendes geschrieben: | | Frohe Weihnachten… |
Auch Frohe Weihnachten
| jmd hat Folgendes geschrieben: |
Da wird das skalare Potential doch garnicht verändert |
Ich muß sagen daß ich diesen Ausdruck
zwar kannte aber daß er mir aber in dem Zusammenhang nicht klar war
Ich habe noch nie eine Aufgabe gerechnet zu dem Thema
Ich meinte wohl,daß es keine Bedingungen an das skalare Potential im Sinne von =0 ) gibt
Es ist natürlich immer ärgerlich,wenn man was falsches hinschreibt
aber gut daß sich das dann noch geklärt hat
| scaer93 hat Folgendes geschrieben: |
Danach habe ich nun ein f ermittelt:
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f ist doch Null wegen |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 11:52 Titel: |
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aber ist kA_0 = 0 hier immer so?
Dachte, es ist egal, ob ich nun A_0 anpasse oder ein f bestimme... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2013 15:31 Titel: |
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Du hast deine Funktion f korrekt bestimmt.
Wenn dein A_0 zunächst beliebig ist, kannst du es direkt durch die Coulombeichbedingung so vorgegeben, dass es diese erfüllt, also transversal zum gegebenen k-Vektor ist.
Wenn dein A_0 jedoch fest vorgegeben ist, dann kannst du mittels deiner Funktion f sowie der Eichtransformstion ein neues A berechnen, das dann die Coulombeichung erfüllt; dazu musst du dein f in die von mir angegebene Eichtransformation einsetzen, und zwar sowohl für das Vektor- als auch für das skalare Potential. Daraus folgt dann ein neues A' sowie ein neues A'_0. Außerdem folgt auch ein neues skalares Potential, da die Eichfunktion f zeitabhängig ist und df/dt nicht verschwindet.
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 24. Dez 2013 16:05 Titel: |
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Vielen Dank für die Rückmeldung. Beruhigend, dass ich nicht allein bin und am Heiligen Abend noch Physik mache….
Ich denke, die Aufgabe verlangt die Variante 2 über die von mir angegebene Bedingung.
Also bin ich nun wunschlos glücklich…
Frohe Weihnachten
scaer93 |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 25. Dez 2013 12:09 Titel: |
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Leider zu früh gefreut:
Berechnung von grad(f):
} \cdot i \vec{k} = - \vec{A}_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)})
Das Potential ergibt sich dann mit dem angegebenen f:
} = \frac{\omega \vec{k} \vec{A}_0}{k^2} e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)} )
} [\phi_0 + \frac{\omega \vec{k} \vec{A}_0}{k^2}])
Meine Frage also:
1. Habe ich mich beim Eichen des Vektorpotentials (also beim grad(f)) verrechnet? Es wird ja null?!
2. Ist mein angegebenes Phi ' in Coulomb-Eichung richtig? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Dez 2013 15:41 Titel: |
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Hier steckt der Fehler:
| scaer93 hat Folgendes geschrieben: | } \cdot i \vec{k} = - \vec{A}_0 e^{i(\vec{k} \vec{x} - \omega t)}) |
Es ist leider
\cdot\vec{k} \neq \vec{A}\cdot\left(\vec{k}\vec{k}\right) = \vec{A}\,k^2)
Du hast aber Gleichheit angenommen.
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 25. Dez 2013 20:03 Titel: |
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Oh, da hast du natürlich recht. Das habe ich übersehen, dass das Skalarprodukt nicht assoziativ ist.
Aber das i darf ich mit dem vorderen i verheiraten?
Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Dez 2013 23:07 Titel: |
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Das mit dem i geht klar.
Tip: das Ergebnis ist ein Vektorpotential, dessen zu k parallele Komponente "wegprojiziert" wird. Du müsstest sowas wie
\,\hat{k})
finden.
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 26. Dez 2013 12:08 Titel: |
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Ok, danke sehr... |
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