Zeitbereich und Frequenzbereich

HBX8X · Anmeldungsdatum: 07.11.2013 Beiträge: 159

Hallo,

könnte mich jemand im folgenden korrigieren/bestätigen bzw. erwähnen um was es sich bei den folgenden Ausdrücken handelt?

Meine Idee:

Wenn ich eine Gleichung betrachte, welche abhängig von der Zeit ist (z.b. eine (Sinus-)Schwingung), so kann ich diese Gleichung von verschiedenen Perspektiven betrachten, d.h. das jede Perspektive dasselbe bloß von einer anderen Sicht darstellt.

Zeitbereich: Sie würde mir die komplette Schwingung darstellen, die im Laufe der Zeit ihr Minimum/Maximum bzw. ihre Amplituden annimmt. Ich erkenne sozusagen wie sich die Schwingung in einem Zeitintervall verändert.

Frequenzbereich (Auch Bildbereich genannt): Hierfür habe ich mir folgende Animation angesehen (Rot: Zeitbereich und Blau: Frequenzbereich)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Fourier_transform_time_and_frequency_domains_%28small%29.gif

Ich erkenne eine Schwingung in Rot dargestellt. Diese Schwingung kann ich nun aus der Summe mehrerer Schwingungen darstellen (blau). Die Amplituden von den einzelnen blauen Schwingungen (Die Summe der blauen ergibt die Rote Schwingung) sind der Frequenzbereich von meiner Roten Schwingung.

Ganz strenggenommen wird eine Schwingung vom Zeitbereich über die Fouriertransformation in das Frequenzbereich und über die Laplacetransformation in das Bildbereich transformiert. Also gilt nicht ganz Frequenzbereich <-> Bildbereich. Beides stellt aber dasselbe da letztendlich (Amplituden der blauen Schwingungen) ?

Und was ist der Spektralbereich? Bei Wikipedia habe ich unter der Laplacetransformation den Zusammenhang ,,komplexen Spektralbereich (Frequenzbereich; Bildbereich)" gelesen. Heißt das nun das Frequenzbereich + Bildbereich allgemein ausgedrückt Spektralbereiche sind ?

Bedanke mich über jede hilfsreiche Antwort im vorraus!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7460

Beide Transformationen können als Umrechnung von Zeit- in Frequenzbereich verstanden werden, auch die Laplace-Transformation. Vereinfacht ausgedrückt ist die Fouriertransformation ein "Sonderfall" der Laplace-Transformation, denn diese verwendet ja

, während bei Fourier

gesetzt und nur mit

transformiert wird. Noch mehr vereinfacht ausgedrückt kann man sagen, dass deswegen bei Fourier "normale" Schwingungen entstehen (

), die weder ab- noch aufklingen. Bei Laplace dagegen ergibt die Funktion

dann eine Schwingung, deren Amplitude exponentiell hoch- oder runtergeht, denn Du kannst

als Betrag ja nach vorne ziehen.

Viele Grüße
Steffen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ich würde die Laplace-Transformation erstmal aussen vorlassen. Die ist nämlich sehr viel komplizierter als die Fourier-Transformation. So gehen z.B. die Integrationen bei beiden über verschiedene Gebiete, es sind Transformationen die für verschiedene Funktionenraeume definiert sind, die Rücktransformation ist bei Laplace sehr viel schwieriger, ...

Ich sag nicht, dass die beiden nicht zusammenhängen und man (nicht nur formale) Ähnlichkeiten finden kann, aber ich würde erstmal raten die Fourier-Transformation zu verstehen und dann mit Laplace-Transformation anfangen.