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Produkt fermionischer Erzeugeroperatoren
 
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Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 20. Jul 2014 23:50    Titel: Produkt fermionischer Erzeugeroperatoren Antworten mit Zitat

Hallo,
ich habe gerade Schwierigkeiten für eine Aufgabe den folgenden Vakuumerwartungswert zu berechnen



Dabei sind die fermionischer Erzeugungs-/Vernichtunsoperatoren, mit



Prinzipiell kann man solange kommutieren, bis man nur noch Deltas und Erwartungswerte mit Vernichtern rechts übrig hat, aber ich habe das Gefühl das das nicht Sinn der Sache sein kann, da das eher eine Rechnung für einen Computer zu sein scheint.
Ich würde mich freuen wenn jemand einen Vorschlag hat wie man einfacher ans Ziel kommt.

Gruß
Nobundo
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Jul 2014 00:05    Titel: Antworten mit Zitat

Genauso kommt man ins Ziel.. fang mal rechts an damit.. dann ist klar was rauskommt.
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 21. Jul 2014 00:06    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich bekomme da nur Seitenweise Papier voll, aber klar wird mir leider nichts Hilfe
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 21. Jul 2014 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

Keiner mehr eine Idee dazu?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Jul 2014 22:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ich wuerd einfach durchtauschen... wahlweise kannst Du es natürlich auch per Induktion nach n machen (oder erstmal die ersten n=1,2,3,... ausprobieren).

.. oder die überlegen, dass nur delta's auftauchen können (wieso?) und dann was für welche das wohl sind (und dann: Induktion zum beweisen)...
Nobundo



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168

Beitrag Nobundo Verfasst am: 21. Jul 2014 22:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ja das habe ich leider alles schon versucht, aber ohne Erfolg. Für n=1 oder n=2 lässt sich das noch ganz gut ausschreiben aber mit wachsendem n werden es mehr und mehr Summanden und ich erkenne keine Struktur die ich voraussetzen und induktiv beweisen könnte.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jul 2014 08:28    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht mal ein Tipp. Eine beliebige Umsortierung der Erzeuger führt zu einem (permutationsabhängigen) Vorzeichen



Insbs. ist der Ausdruck Null, wenn zwei (oder mehr) Indizes übereinstimmen. Umgekehrt kann der Term also nur dann nicht Null sein, wenn alle Indizes verschieden sind.

Damit kannst du nun die Erzeuger und Vernichter jeweils so sortieren, dass gleiche Indizes k, l, m, … wie folgt sortiert sind:



Das Resultat unterscheidet sich vom ursprünglichen maximal durch ein Vorzeichen. Wenn ein oder mehrere ungepaarte Operatoren existieren, dann ist der Ausdruck Null.

Nun kannst du als nächstes die Paare gemeinsam nach rechts durchtauschen, d.h.



Dabei musst du dir überlegen, wie ein Operatorpaar mit jeweils einem ungepaarten Operator vertauscht. Wichtig ist, dass der einzelne Operator zwingend einen anderen Index als das Paar haben muss, da sonst ja der gesamte Ausdruck Null ist (s.o.)

Zuletzt musst du den Eigenwert für



bestimmen.

Unter der Voraussetzung, dass alle o.g. Forderungen erfüllt sind und das Matrixelement somit nicht Null ist, muss sein Wert direkt direkt aus



folgen, wobei N die Anzahl der Paare bezeichnet.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 22. Jul 2014 23:10, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jul 2014 08:29    Titel: Antworten mit Zitat

@jh8979: schau mal kurz drüber, ob meine Idee OK ist
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Jul 2014 09:49    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
@jh8979: schau mal kurz drüber, ob meine Idee OK ist

Thumbs up! sieht gut aus.

Das wäre auch mein nächster Vorschlag gewesen: Argumentieren dass alle Indizes verschieden sein müssen und/oder statt des Matrixelements direkt die Fockzustaende betrachten (was ja im wesentlichen ist was Du aufgeschrieben hast).
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