Produkt fermionischer Erzeugeroperatoren

Nobundo · Anmeldungsdatum: 12.03.2014 Beiträge: 168

Hallo,
ich habe gerade Schwierigkeiten für eine Aufgabe den folgenden Vakuumerwartungswert zu berechnen

Dabei sind die

fermionischer Erzeugungs-/Vernichtunsoperatoren, mit

Prinzipiell kann man solange kommutieren, bis man nur noch Deltas und Erwartungswerte mit Vernichtern rechts übrig hat, aber ich habe das Gefühl das das nicht Sinn der Sache sein kann, da das eher eine Rechnung für einen Computer zu sein scheint.
Ich würde mich freuen wenn jemand einen Vorschlag hat wie man einfacher ans Ziel kommt.

Gruß
Nobundo

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Genauso kommt man ins Ziel.. fang mal rechts an damit.. dann ist klar was rauskommt.

Nobundo · Anmeldungsdatum: 12.03.2014 Beiträge: 168

Also ich bekomme da nur Seitenweise Papier voll, aber klar wird mir leider nichts Hilfe

Nobundo · Anmeldungsdatum: 12.03.2014 Beiträge: 168

Keiner mehr eine Idee dazu?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Ich wuerd einfach durchtauschen... wahlweise kannst Du es natürlich auch per Induktion nach n machen (oder erstmal die ersten n=1,2,3,... ausprobieren).

.. oder die überlegen, dass nur delta's auftauchen können (wieso?) und dann was für welche das wohl sind (und dann: Induktion zum beweisen)...

Nobundo · Anmeldungsdatum: 12.03.2014 Beiträge: 168

Ja das habe ich leider alles schon versucht, aber ohne Erfolg. Für n=1 oder n=2 lässt sich das noch ganz gut ausschreiben aber mit wachsendem n werden es mehr und mehr Summanden und ich erkenne keine Struktur die ich voraussetzen und induktiv beweisen könnte.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Vielleicht mal ein Tipp. Eine beliebige Umsortierung der Erzeuger führt zu einem (permutationsabhängigen) Vorzeichen

Insbs. ist der Ausdruck Null, wenn zwei (oder mehr) Indizes übereinstimmen. Umgekehrt kann der Term also nur dann nicht Null sein, wenn alle Indizes verschieden sind.

Damit kannst du nun die Erzeuger und Vernichter jeweils so sortieren, dass gleiche Indizes k, l, m, … wie folgt sortiert sind:

Das Resultat unterscheidet sich vom ursprünglichen maximal durch ein Vorzeichen. Wenn ein oder mehrere ungepaarte Operatoren existieren, dann ist der Ausdruck Null.

Nun kannst du als nächstes die Paare gemeinsam nach rechts durchtauschen, d.h.

Dabei musst du dir überlegen, wie ein Operatorpaar mit jeweils einem ungepaarten Operator vertauscht. Wichtig ist, dass der einzelne Operator zwingend einen anderen Index als das Paar haben muss, da sonst ja der gesamte Ausdruck Null ist (s.o.)

Zuletzt musst du den Eigenwert für

bestimmen.

Unter der Voraussetzung, dass alle o.g. Forderungen erfüllt sind und das Matrixelement somit nicht Null ist, muss sein Wert direkt direkt aus

folgen, wobei N die Anzahl der Paare bezeichnet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

@jh8979: schau mal kurz drüber, ob meine Idee OK ist

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582