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Nachricht |
Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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 Vinterblot Verfasst am: 09. Mai 2014 21:27 Titel: Ehrenfest: Näherung der klassischen Bewegungsgleichung |
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Hi!
Laut Ehrenfest gilt ja
> \approx V(<x>)
<br />
)
Ich habe nun die Klassische Bew-Gl. gegeben
<br />
)
Aufgabenstellung:
Berechnen sie die niedrigste nicht verschwindene Korrektur zu dieser klassischen Bewegungsgleichung, die sich aus dem Ehrenfest-Theorem ergibt, indem Sie die Potentialfunktion um <x> nach
entwickeln.
Entwickeln heißt Taylor.
Was mir Schwierigkeiten verursacht:
Gegeben ist im Grunde F = m*a. Entwickeln soll ich die Potentialfunktion. Bekannt ist, das die Kraft der negative Gradient (bzw in diesem 1-dimensionalen Fall: die Ableitung) des Potentials ist.
Das heißt für mich: Ich muss zunächst einmal die V'(<x>) integrieren und anschließend Taylorentwickeln.
Wie integriere ich dass denn nun genau?
dx
d<x>
dx und für <x> setze ich Psi* x Psi ein
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5054
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| DrStupid Verfasst am: 09. Mai 2014 23:20 Titel: Re: Ehrenfest: Näherung der klassischen Bewegungsgleichung |
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| Vinterblot hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt für mich: Ich muss zunächst einmal die V'(<x>) integrieren und anschließend Taylorentwickeln. |
Das klingt für mich nach einem Schildbürgerstreich. Die Taylorentwiclung besteht doch aus Ableitungen. Warum sollte man eine Funktion integrieren, um sie anschließend wieder abzuleiten? |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 09. Mai 2014 23:41 Titel: |
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Korrekt, aber (in voller Allgemeinheit) sieht die Taylorentwicklung ja so aus
 + F'(x_0)(x-x_0) + 1/2 F''(x_0)(x-x_0)^2 + ....
<br />
)
Das heißt mir fehlt der erste Term.
Aber ich befürchte schon, ich überseh grade irgendwas furchtbar elementares....  Tatsächlich ist mir der Einwand, den du gebracht hast, auch schon gekommen. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 10. Mai 2014 11:45 Titel: |
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Ich kann dir nicht ganz folgen, welchen Term meinst du und wieso sollte er verschwinden? Hast du etwa schon weiter gerechnet, ohne es hier deutlich zu machen?
Ansonsten:
| Zitat: | Das heißt für mich: Ich muss zunächst einmal die V'(<x>) integrieren und anschließend Taylorentwickeln.
Wie integriere ich dass denn nun genau? |
Du denkst wohl etwas kompliziert ^^
So wie es Formuliert ist, kann man davon ausgehen, das nicht nur die Kraft F = -V(x) gegeben ist, sondern das Potential selbst. Sonst würde man schreiben
 und nicht )
Also ist der Ausgangspunkt schon das Potential V(x), das du um <x> entwickeln musst und in die klass. Bewegungsgleichung einsetzen musst. |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 10. Mai 2014 12:10 Titel: |
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Hi!
Gegeben ist ja
<br />
)
D.h. die Kraft.
Aufgabenstellung lautet: Entwickeln sie die Potentialfunktion um <x> nach x - <x>
Die Kraft ist der negative Gradient des Potentials. Das heißt, wenn man sich die Taylorreihe anschaut, dann habe ich mit der Kraft im Grunde einen Teil des zweiten Terms der Taylorentwicklung gegeben, nämlich F'(x). Der erste Term besteht aus F(x), was dem Potential entspräche.
Eine konkrete Potentialfunktion habe ich jedoch nicht gegeben. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 10. Mai 2014 18:34 Titel: |
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Wie schon gesagt, ich würde das Potential V(x) als gegeben betrachten.
Falls es dich Glücklich macht kannst du auch noch die Ableitung von V(x), d.h. V'(x), integrieren, was bloß die wieder nach dem Hauptsatz V(x) liefert + eine konstante, daher ist die obige Betrachtung, V(x) als gegeben zu betrachten sogar noch konsistenter das man sonst für das Potential schreiben müsste W(x) = V(x) + c, was aber auch kein Problem ist, da c wieder beim ableiten heraus fliegt.
Also gehen wir also von einem gegeben Potential V(x) aus. V(x) ist, sofern analytisch um als Taylorreihe darstellbar, für unsere zwecke konkret genug.
Die Näherung des Potentials in deinem ersten Beitrag ist keine folge aus dem Ehrenfesttheorem, sondern ergibt sich durch taylorentwicklung des Pontentials bis zur nullten Ordnung um <x>.
Das Ehrenfesttheorem findest du hier http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem#General_example
Nun soll mit Ehrenfest eine Quantenmechanische Gleichung aufgestellt, die Korrekturterme zur gegebenen klassischen gleichung liefert.
Du gehst von der linken Seite aus und verwendet zwei Identitäten, die hier zu finden sind und leicht aus dem Ehrenfesttheorem folgen http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem#General_example, um die zweifache Ableitung von x umzuschreiben zu >= -<\frac{d}{dx}(V(x))>) .
Nun entwickelst du V(x) in den spitzen Klammern bis zur ersten Ordnung und errechnest den Erwartungswert, wenn der Korreturterm verschwindet, nimmst du noch einen weiteren Term hinzu, usw.[/code] |
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