Zylinder als Kondensator

gagaa · Gast

Hi!

Ich habe eine Aufgabe, in der so zwei Zylinder mit einem inneren und äußeren Radius übereinander sind... ich soll nun das elektrische Feld zwischen diesen Zylindern berechnen. Im Internet steht dazu recht viel, aber dort ist immer innen mit q geladen und außen mit -q. In meiner Aufgabe ist aber innen mit q geladen und außen soll die Gesamtladung 0 sein.
Meine Frage: Macht das einen Unterschied? Kommt trotzdem als Formel raus: C= epsilon 0 * (2pi*L) / (ln(r2/r1)) wobei L die Länge des Zylinders ist..
Hammer

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

gagaa · Gast

Hi, die Aufgabenstellung lautet:

Gegeben sind 2 dünne konzentrische Zylinder der Länge L; der Radius des inneren Zylinders sei r(i) der des äußeres r(a).

Ferner sei L>> r(a). Die Ladung auf dem inneren Zylinder sei Q, auf dem äußeren sei die Gesamtladung zunächst 0.

a) Berechnen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes das elektrische Feld zwischen den Zylindern als Funktion des Abstandes r von der Achse beider Zylinder.
b) Berechnen Sie daraus die Spannung zwischen den Zylindern.
c) Betrachten Sie die Anordnung nun al sKOndensator. Wie groß ist seine Kapazität?

Nun sei auf dem äußeren Leiter zusätzlich die Ladung 4Q.
d Welches Feld erhalten Sie nun für diese Konfiguration zwischen den Zylindern?
e) Wie griß ist das Feld im äußeren (nehmen sie an, der Draht sei sehr lang und sie betrachten das Feld nur sehr nahe um den Leiter herum).

Hilfe

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Bis auf c) ist das nun ziemlich eindeutig. Bei c) stört mich der Begriff "Anordnung". In einer elektrischen Anordnung ist das Nullpotential von besonderer Wichtigkeit, das liegt im vorliegenden Fall aber im Unendlichen. Für diese "Anordnung" die Kapazität zu bestimmen, dürfte schwierig sein. Bei endlicher Länge der Zylinder ist das Feld in größerer Entfernung nicht mehr zylindersymmetrisch, so dass sich eine geschlossene analytische Berechnung nicht mehr durchführen lässt. Geht man dagegen von einer unendlichen Zylinderlänge aus, ist die Kapazität natürlich unendlich groß.

Aus dem Gesamtzusammenhang und dem Charakter der Aufgabe als einer Einsteigerübung geht allerdings hervor, dass die Kapazität zwischen den Zylindern gemeint ist. Und die ist vollkommen unabhängig vom Nullpotential oder der Spannung oder der Ladung, kann aber als Quotient von Ladung und Spannung bestimmt werden. Ein Kondensator hat auch eine Kapazität, wenn keine Spannung anliegt oder irgendeine abenteuerliche Ladungsverteilung vorliegt. Die Kapazität lässt sich genauso gut aus der Geometrie und der Materialeigenschaft bestimmen. Hier können wir aber der Einfachheit halber auch den Quotienten aus Ladung und Spannung verwenden. Denn die Ladung ist vorgegeben, und die Spannung zwischen den Zylindern wird in b) berechnet.

a) Gaußscher Flusssatz

Wegen

und

bei r=const. wird daraus

Mit

und der Annahme, dass das Material zwischen den Zylindern Luft ist (obwohl das die Aufgabenstellung nicht explizit vorgibt), ergibt sich

Übrigens folgt die elektrische Feldstärke außerhalb des äußeren Zylinders nach Gaußschem Flusssatz derselben Gesetzmäßigkeit (sofern man das r gegenüber dem L nicht zu groß werden lässt). Seltsamerweise ist in diesem Aufgabenteil nach dem Feld im Außenraum aber gar nicht gefragt.

b) Spannung zwischen den Zylindern

c) Kapazität zwischen den Zylindern:

d)
Die Feldstärke zwischen den Zylindern ist dieselbe wie im ersten Aufgabenteil, denn die Ladung auf dem Innenzylinder ändert sich nicht. Nach Gaußschem Flusssatz wird die Feldstärke aber ausschließlich von der von einem Zylinder mit Radius r eingeschlossenen Ladung bestimmt. Also gilt auch hier

e) Das Feld im Außenraum wird nun von der Ladung bestimmt, die von einem Zylinder mit

eingeschlossen wird. Das ist die Ladung Q auf dem Innenzylinder und die Ladung 4Q auf dem Außenzylinder, insgesamt also 5Q. Die Feldstärke im Außenraum ist demzufolge

gagaa · Gast

Danke für die Mühe! Eine Frage habe ich bei a) aber immer noch: Warum gibt es überhaupt ein Feld, wenn die Außenladung 0 ist?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861