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Peter1111
Gast
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 Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 16:00 Titel: Gekoppeltes Pendel |
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Meine Frage:
Hallo, liebe Physiker! 
Folgende Aufgabe:
Zwei ideale, ebene, mathematische Pendel, mit der Pendellänge  und der Pendelmasse  sind im Abstand  voneinander im Schwerefeld der Erde aufgehängt und durch eine harmonische Feder der Ruhelänge und der Federkonstanten  miteinander verbunden.
Skizze:
Bild aus externem Link als Anhang eingefügt, damit spätere Generationen auch noch was davon haben. Steffen
(a) Zeigen Sie, dass die potentielle Energie ) des Systems für kleine Auslenkungen  durch =V_0+mgl\left(\frac{\varphi_1^2}{2}+\frac{\varphi_2^2}{2}\right)+\frac{k}{2}l^2(\varphi_1-\varphi_2)^2) gegeben ist. Dabei ist  eine Konstante.
(b) Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems und die Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen auf.
(c) Geben Sie die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen an. Welche Eigenfrequenzen treten auf?
Meine Ideen:
Ich habe erstmal die Positionen ) (linker Massenpunkt) und ) (rechter Massenpunkt) dargestellt durch die beiden Winkel. Ich komme da auf , y_1=l\cos(\varphi_1),x_2= l\sin(\varphi_2)+l_0, y_2=l\cos(\varphi_2))
(Dabei ist der Koordinatenursprung im Aufhängungspunkt des linken Massenpunktes, die positive x-Achse zeigt nach rechts, die positive y-Achse zeigt senkrecht nach unten).
Daraus ergibt sich dann , \dot y_1=-l\dot\varphi_1\sin(\varphi_1), \dot x_2=l\dot\varphi_2\cos(\varphi_2), \dot y_2=-l\dot\varphi_2\sin(\varphi_2))
(a) habe ich einigermaßen hingekriegt (mithilfe der Taylorentwicklung von Sinus und Cosinus).
Bei (b) habe ich für die Lagrangefunktion: =T(\varphi_1,\varphi_2)-V(\varphi_1,\varphi_2)=\frac{m}{2} \left(\sqrt{\dot x_1^2+\dot y_1^2}^2+\sqrt{\dot x_2^2+\dot y_2^2}^2 \right)-V(\varphi_1, \varphi_2))
-V(\varphi_1, \varphi_2))
+\dot\varphi_1^2\sin^2(\varphi_1)+\dot\varphi_2^2\cos^2(\varphi_2)+\dot\varphi_2^2\sin^2(\varphi_2) \right)-V(\varphi_1, \varphi_2))
-V(\varphi_1, \varphi_2))
Stimmt das so? (Für habe ich einfach den Ausdruck aus Aufgabe (a) genommen).
Bei den Bewegungsgleichungen bin ich mir nicht sicher. Ist das einfach  und  ?
Bei Aufgabe (c) habe ich überhaupt keine Idee, was ich da machen soll.
Wäre nett, wenn sich das jemand angucken und mir weiterhelfen könnte.
Schöne Grüße
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
8.54 KB |
| Angeschaut: |
4324 mal |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 16:33 Titel: |
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b) deine Vermutung ist richtig.
c) Du sollst diese Form bekommen:  (Summenkonvention!). Du suchst einen Ansatz ) . Dann kannst du dir überlegen, welche Bedingung für die Eigenfrequenzen erfüllt sein muss, damit es nicht triviale Lösungen gibt (was ist mit der Determinante einer Matrix, damit sie einen nichttrivialen Kern hat?). Diese Frequenzen sind die Eigenfrequenzen.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 17:18 Titel: |
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Meinst du die Einsteinsche Summenkonvention? de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Summenkonvention
Aber irgendwie verstehe ich das nicht so wirklich, was damit gemeint ist. Auf Wikipedia steht dazu was von  -Matrizen und Vektoren. Aber m und k sind doch Skalare.
Wenn ich mich richtig an meine Lineare Algebra-Vorlesung erinnere, würde ich sagen, dass eine Matrix  einen nicht trivialen Kern (also \neq \{0\}) ) hat, wenn =0.)
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 17:44 Titel: |
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Am besten, du schreibst erst mal die Bewegungsgleichungen auf, die sich durch die Lagrangeschen Gleichungen ergeben.
Und ja, du erinnerst dich richtig.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 18:06 Titel: |
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Meinst du das?
-V_0-mgl\left(\frac{\varphi_1^2}{2}+\frac{\varphi_2^2}{2}\right)-\frac{k}{2}l^2\left(\varphi_1-\varphi_2\right)^2)
+mgl\varphi_1+kl^2(\varphi_1-\varphi_2)=ml^2\ddot\varphi_1+mgl\varphi_1+kl^2(\varphi_1-\varphi_2))
+mgl\varphi_2-kl^2(\varphi_1-\varphi_2)=ml^2\ddot\varphi_2+mgl\varphi_2-kl^2(\varphi_1-\varphi_2))
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 20:21 Titel: |
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Du musst schon noch bestimmen, wie sich die Amplituden verhalten, denn nicht jeder Vektor A repräsentiert eine Lösung.
 \vec A = 0)
Oder auch von nun an:
 \vec A = 0 \Leftrightarrow D \vec A = \omega^2 M \vec A . )
Dabei ist M auf jeden Fall positiv definit und symmetrisch und somit invertierbar. Daher gilt äquivalent:
Das oben nennt man verallgemeinertes Eigenwertproblem, wenn ich mich recht entsinne (bin selbst nicht wirklich sattelfest in dem Thema).
Zu bestimmen sind also Eigenwerte (entsprechen den Eigenfrequenzen) und Eigenvektoren (das sind deine Amplituden) dieser Matrix:
 = 0)
Ich habe kürzlich geschrieben, dass ich den Goldstein nicht mag, doch ich muss gestehen, dass dieses Problem im Goldstein sehr gut erklärt ist. Leider habe ich ihn im Moment nicht da.
Viel Spaß beim Rechnen! 
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 19. März 2014 20:53, insgesamt einmal bearbeitet |
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 20:40 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | ) |
Das ist jetzt also die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung?
So ganz ist es mir noch nicht klar. Welches sind denn eigentlich die Eigenfrequenzen?  ? Muss ich jetzt berechnen?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 20:54 Titel: |
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Tut mir leid, das ist jetzt schon das zweite Mal, dass ich den Zitieren-Button mit dem für Editieren verwechselt habe. 
Eigentlich wollte ich nur die Gleichung kopieren. Also, meine Antwort steht oben.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 21:37 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Viel Spaß beim Rechnen! |
Danke, werde ich haben. Berechnung von Eigenwerten sollte ich aber auch hinkriegen (ich studiere Mathematik, Physik ist nur Nebenfach).
Ich soll jetzt also die Eigenwerte von  berechnen, das macht man mit =0) . Habe ich das jetzt richtig verstanden?
Ich komme da auf folgendes:
=\det\begin{pmatrix} g/l+km-\omega^2 & -k/m \\ -k/m & g/l+k/m-\omega^2 \end{pmatrix}=\left(\frac{g}{l}+\frac{k}{m}-\omega ^2\right)^2-\left(\frac{k}{m}\right)^2 )
Das müssten die beiden Eigenwerte sein.
Sind jetzt  und  die Eigenfrequenzen?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 22:07 Titel: |
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Ja, sieht gut aus. Dann sind das wohl die Eigenfrequenzen.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 22:22 Titel: |
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OK. Also ist die Aufgabe dann fertig?
Eine Frage noch: "Lösen der Bewegungsgleichung" hieß für mich eigentlich immer, dass man eine Funktion der Zeit hat und mit der man dann berechnen kann, wo sich der Körper wann befindet.
Angenommen, ich habe alle Größen (also l, k, m) gegeben. Welches sind dann die Funktionen, mit denen ich die Positionen der beiden Massepunkte bestimmen kann?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 22:29 Titel: |
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 = A_i \cdot \exp (i \omega t)) , für einen beliebigen Eigenvektor  der jeweiligen Eigenfrequenz. Idealerweise einen, der eine reelle Lösung bewirkt.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 22:34 Titel: |
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Und andere Frequenzen als die berechneten Eigenfrequenzen können nicht auftreten, oder?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 22:36 Titel: |
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| Peter1111 hat Folgendes geschrieben: | | Und andere Frequenzen als die berechneten Eigenfrequenzen können nicht auftreten, oder? |
War die Herleitung an irgendeiner Stelle nicht deduktiv genug?
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 22:41 Titel: |
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Ich wundere mich nur, warum da immer gefragt wird: "Welche Eigenfrequenzen treten auf?" Das hört sich für mich so an, als wenn es noch irgendwelche anderen Frequenzen gibt, mit denen das System schwingen kann. Und die Eigenfrequenzen haben eben noch irgendwelchen besonderen Eigenschaften.
Warum fragt man denn nicht "Welche Frequenzen treten auf?" Wieso hat das also noch einen extra Namen, wenn es sowieso keine anderen Frequenzen gibt?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 22:52 Titel: |
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Dumm von mir.
Ja, du hast natürlich recht. Die so gefundenen Lösungen sind partikuläre Lösungen. Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Linearkombination.
Das ist mir jetzt wirklich peinlich... 
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 22:56 Titel: |
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Also sind die möglichen Frequenzen  ? ( )
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 23:02 Titel: |
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Nein. Aber wenn du die Eigenvektoren  zu den Eigenfrequenzen  hast, ist die allgemeine Lösung:
 = \sum_i \lambda_i ( \vec A_i )_j \exp \mathrm{i} \omega_i t )
PS: Es ist natürlich nicht sinnvoll, so einer Überlagerung von Schwingungen eine Frequenz zuordnen zu wollen.
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 23:17 Titel: |
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Achso. Also sind die Eigenfrequenzen die Frequenzen, mit denen das System "gleichmäßig" schwingen kann (ich hoffe du weißt, was ich meine  .
Und wovon hängen die  ab?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 23:20 Titel: |
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Sie sind frei wählbar.
(eigentlich war es unnötig, das zu schreiben, denn diese Skalierbarkeit ist ja schon im Begriff "Eigenvektor" enthalten)
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 23:25 Titel: |
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Stimmt. Ein beliebiges Vielfaches eines Eigenvektors ist ja wieder ein Eigenvektor (außer das 0-fache).
Na gut, ich glaube, damit ist mein Physik-Bedarf für die nächste Zeit erstmal gedeckt. Wenn da nur nicht die Klausur morgen wäre...
Naja, vielen Dank für deine Hilfe. 
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 19. März 2014 23:26 Titel: |
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| Peter1111 hat Folgendes geschrieben: | | Stimmt. Ein beliebiges Vielfaches eines Eigenvektors ist ja wieder ein Eigenvektor (außer das 0-fache). |
Stimmt. Aber das 0-fache ist trotzdem eine Lösung der Differentialgleichung.
Viel Glück bei der Klausur! (jetzt? Mein Gott, ich bin mitten in den Semesterferien^^)
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Peter1111
Gast
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| Peter1111 Verfasst am: 19. März 2014 23:33 Titel: |
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Ist auch eine Wiederholungsklausur.
Beim ersten Mal hatte ich einen Punkt zu wenig.
Und heute ist mir aufgefallen, wo ich diesen Punkt leichtfertig verschenkt habe: Die erste Aufgabe war "Was besagt das 3. Newtonsche Axiom?" Eigentlich nicht allzu schwer... Und was mache ich Depp? Ich schreib das 3. Keplersche Gesetz hin.  Das regt mich dermaßen auf. Wie kann man das denn verwechseln? Hab ich wohl nicht gründlich genug gelesen.
Ohne die Klausur hätte ich jetzt auch den ganzen März freigehabt. Ende März geht's wieder los mit Vorlesungen.
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