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Nachricht |
Variabelius
Gast
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 Variabelius Verfasst am: 18. März 2014 00:25 Titel: Betrag von Ortsvektor vom Schwerpunkt |
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Hallo, jetzt die nächste Aufgabe aus dem Goldstein !
Beweise das der Betrag des Ortsvektors von einem beliebigen Ursprung zum Schwerpunkt:
ist !
Definition des Ortsvektors ist ja:
Zu meiner Schande :-( hab ich vorsichtig in ein Lösungs pdf reingeschaut, und da wurde, als nächster Schritt(weiter hab ich nicht geguckt weil ich den Rest noch selbst schaffen will) das hier geschrieben:
Und ich verstehe nicht wie die auf den zweiten Term kommen, der erste macht ja noch Sinn. Mit  hat es nichts zu tun oder? Es hat auch ähnlichkeit mit der gleichung für externe und interne Kräfte, aber keine Ahnung. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. März 2014 01:29 Titel: |
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Hm, also ich habe mehrmals versucht, mich mit dem Goldstein anzufreunden, aber ich kann ihn einfach nicht leiden. Aber die Aufgaben gefallen mir irgendwie schon. 
Landau mag ich trotzdem mehr.^^
Der Trick, wenn man sowas zeigen soll, ist eigentlich nur: Erstens, Vertrauen in die eigenen Rechenfähigkeiten, und zweitens, Symmetrieargumente maßvoll einsetzen.
Und im Zweifelsfall mit dem komplizierteren Term anfangen, das ist in diesem Fall die rechte Seite. Hier mal mein Versuch:
^2)
}_\text{Symmetrie!} - 2m_i m_j \vec r_i \cdot \vec r_j ])
^2 = M^2 R^2 )
Was ist der Lerneffekt? Keine Ahnung... Was man bei sowas beachten muss, ist, dass, wenn über i und j summiert wird, jede Kombination doppelt auftritt (wenn die Summanden symmetrisch in i und j sind), weshalb man es mit so einem Faktor (1/2) ausgleichen kann. |
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variabelius
Gast
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| variabelius Verfasst am: 18. März 2014 02:24 Titel: |
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Hallo, danke, ja also nach dem Goldstein wollte ich auch mit Landau anfangen. Aber jetzt zur Aufgabe. Der einzige Schritt den ich nicht verstehe ist, wie du auf das m_{j} nach dem ersten = gekommen bist. Wieso ist das j ? Ich dachte M=m_{i} ? Oder kann ich die Gesammasse M aufteilen wie ich will?? |
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variabelius
Gast
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| variabelius Verfasst am: 18. März 2014 02:35 Titel: |
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Also warum ist denn  . i und j sind doch zwei verschiedene Massen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 18. März 2014 05:36 Titel: |
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| variabelius hat Folgendes geschrieben: | | ... wie du auf das m_{j} nach dem ersten = gekommen bist. |
Du meinst
Nun, j ist doch nur ein beliebiger Name für einen Index; du kannst jeden Buchstaben benutzen, der nicht schon vorkommt; und mit j schaffst du es eben, die Terme zusammenzufassen.
| variabelius hat Folgendes geschrieben: | | Also warum ist denn . i und j sind doch zwei verschiedene Massen. |
Wo wird das verwendet?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. März 2014 11:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | variabelius hat Folgendes geschrieben: | | Also warum ist denn . i und j sind doch zwei verschiedene Massen. |
Wo wird das verwendet? |
Meinst du in der vorletzten Zeile, im ersten Term? Da ist i=j, also kann ich  setzen, und so diese Summe mit der Summe über  zusammenführen, sodass insgesamt über beliebige i,j summiert wird.
Ach ja, die Schreibweise ist natürlich nicht besonders sinnvoll, aber suggestiv. Ich habe es aber tatsächlich so aufgeschrieben, wie ich es auf dem Papier hatte. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. März 2014 11:14 Titel: |
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Entschuldigung, m und nicht r. 
Führe dir mal folgenden abstrakten Sachverhaltung vor Augen:
 = \left( \sum_i a_i \right) \left( \sum_j b_j \right) = \left( \sum_i a_i \right) \left( \sum_i b_i \right) )
Daraus ergibt sich:
^2 = \sum_{i, j} a_i a_j)
Überlege dir noch mal in Ruhe, in welchen Fällen du wie viel Freiheit bei der Indexbenennung hast. |
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Variabelius
Gast
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| Variabelius Verfasst am: 18. März 2014 22:46 Titel: |
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Hallo, danke für die Antworten !
Ja also ich hab jetzt verstanden warum ^{2}= r_{i}r_{j}) ist, und warum ich einfach  , wenn ich es im Kopf mit Zahlen durchgehe macht es Sinn. Eine Sache ist mir noch nicht so klar, wie du(Jayk) nach dem dritten = auf einmal zwei  wobei bei dem zweiten i ungleich j sein soll. Bei dem letzten Term versteh ich es ja, weil jeder Ortsvektor und jede Masse zu einem anderen Teilchen gehört. Du hast schon oben was dazu geschrieben, ich habs aber nicht verstanden. Naja schade das jetzt dieses Summenzeug dazwischen gekommen ist.
LG |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. März 2014 23:39 Titel: |
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Ah.
Ursprünglich war da ja mal eine Summe über alle i,j. So eine Summe kann man auf zwei Weisen interpretieren: entweder man summiert über i und in jedem Summanden steht eine Summe über alle j:  , oder aber man summiert über alle Paare: }) . Und unter den Paaren ) gibt es eben solche, bei denen beide Indizes gleich sind, und solche, bei denen beide Indizes ungleich sind (und nichts weiteres).
Zum Beispiel:  \in \lbrace{1, \dots, 3 \rbrace \times \lbrace 1, \dots, 3 \rbrace}} = \sum_{(i, j) \in \lbrace (1, 1) , (2, 2) , (3, 3) \rbrace } + \sum_{(i, j) \in \lbrace (1, 2) , (1, 3) , (2, 1), (2, 3) , (3, 1), (3, 2) \rbrace } )
Über i=j zu summieren, ist vermutlich keine Standard-Schreibweise, aber ich verwende sie (privat) ganz gerne (ich bin mir nicht sicher, ob ich es drauf hätte, das auf einen Übungszettel zu schreiben^^). Übrigens, was auch praktisch sein kann (habe ich bis jetzt genau bei einem Autor gesehen, nämlich bei Peter Hertel):
als symbolische Schreibweise, dass über jede Kombination nur einmal summiert werden muss. Wahrscheinlich hat alles Vor- und Nachteile und führt zum Ziel. Ich finde es mitunter sehr verwirrend, wenn über jede Kombination doppelt summiert wird, weil man sich nichts darunter vorstellen kann. Aber das Ergebnis stimmt in der Regel.^^ |
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Variabelius
Gast
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| Variabelius Verfasst am: 20. März 2014 14:03 Titel: |
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Hallo Jayk. Danke, ich hab schon vermutet das man die Summe irgendwie ausseinander ziehen konnte. Also ich hatte das Summenzeichen zwar schon, aber eben nur in simplen Anwendungen wie bei Reihen und so, nix komplizierteres, hoffentlich hilft mir das jetzt auch in anderen Aufgaben. Schön das du es so ausführlich erklärt hast 
So, jetzt die nächste Aufgabe aus dem Goldstein
LG |
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