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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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 bandchef Verfasst am: 18. Jan 2014 15:44 Titel: Aufgabe zur (Signal-)Systemtheorie |
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Hi Leute!
Ich hab hier einen Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgenden Signale hinsichtlich Stabilität (absoluter Summierbarkeit), beschränkter Energie, beschränkter Leistung und Periodizität (u(n) bezeichnet die Sprungfunktion).
a) = cos\left(2\pi \frac{n}{10}\right))
Das Signal bzw. System ist nicht stabil, da die Konvergenz dieser Cosinus-Reihe ergibt, dass sie um den Nullpunkt für -1,1 oszilliert.
Die Energie |^2 \right)) ist demnach unendlich und so hat man wohl auch eine unbeschränkte Energie.
Die Leistung  \right|^2 \right)\right)) ist dann wohl beschränkt, da für den Energieteil in der Leistungsformel ein unendlich steht (was wir ja durch die unbeschränkte Leistung wissen), und der Limes für  über den Bruch 0 ergibt. Es gilt so dann  was zu einer beschränkten Leistung führt, oder?
Peridizität hätten wir in diesem Fall auch, da das irrationale  im Argument der Cosinus-Funktion dabei steht.
Ist das soweit richtig?
Nun noch eine Frage.
Gilt also:
stabil = absolut summierbar und absolut summierbar wenn die Reihenkonvergenz gegen einen festen Wert strebt, also konvergiert?
nicht stabil = nicht absolut summierbar und nicht absolut summierbar wenn die Reihenkonvergenz gegen unendlich strebt, also divergiert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2014 16:14 Titel: |
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Sorry, da kann ich nicht helfen. Angegeben sind Fourierkoeffizienten, aber was bedeuten die? Wie sieht die Funktion selbst aus? Handelt es ich um eine Fourierentwicklung bzgl. der Zeitabhängigkeit? Wie sind Energie und Leistung definiert?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 18. Jan 2014 16:19 Titel: |
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Ob wir hier Fourierkoeffizienten haben oder nicht, kann ich nicht unterscheiden. Was ich weiß, ist, dass es sich um das Themengebiet der zeitdiskreten Signale handelt.
Die Energie ist so definiert:  \right|^2 )
Die Leistung ist so definiert:  \right|^2 \right) )
Die Funktion selbst lautet so: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2014 16:48 Titel: |
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D.h. es geht um
und die Konvergenz von
Aber für die Beantwortung der Frage
| bandchef hat Folgendes geschrieben: | | Untersuchen Sie die folgenden Signale hinsichtlich Stabilität (absoluter Summierbarkeit) ... |
benötigst du doch das Signal selbst. Wie lautet es?
Absolute Summierbarkeit wäre dann über die Konvergenz von
gegeben.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 18. Jan 2014 16:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wie lautet es?
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Ich hab hier nicht mehr stehen. Ich gehe davon aus, dass das das Signal sein soll!
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Absolute Summierbarkeit wäre dann über die Konvergenz von
gegeben. |
Heißt das dann, dass man die absolute Summierbarkeit, also auch ob das Signal stabil ist, herausfindet, indem man die Konvergenz der Energie des Signals betrachtet, oder indem man die Konvergenz dss Signales betrachtet (sieht die Formel die du hier geschrieben hast, dann quasi nur der Energie-Definition "ähnlich"?)? Nicht absolut summierbar bzw. nicht stabil wäre hier dann (mal abgesehen davon ob hier nun Die Energie oder das Signal gemeint ist!) wohl der Fall, wenn die Energie oder das Signal divergiert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2014 17:16 Titel: |
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Also ich kann dir da nicht weiterhelfen, wenn ich nicht weiß, was das Signal sein soll.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 18. Jan 2014 17:24 Titel: |
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Ok. Es ist in Ordnung. Ich hab dir hier wirklich die gesamte Aufgabe abgetippt, inkl. aller Formeln und Teilaufgaben die dafür benötigt werden. Die Aufgabe bezieht sich auch nicht auf eine vorhergehende Aufgabe.
Ich werde da wohl nochmal beim Aufgabensteller nachfragen müssen.
Was fehlt deiner Meinung nach konkret? |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 18. Jan 2014 17:43 Titel: |
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Dein Signal ist nicht absolut Summbierbar, denn das Signal geht für n->unendlich nicht gegen Null sondern oszilliert um 0 zwschen 1 und -1 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2014 17:46 Titel: |
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Nun, ich kenne mich mit Signaltheorie nicht aus. Für mich ist ein Signal ein zeitliches Signal, d.h. eine Funktion f(t), für die ich eine Fourierzerlegung finden kann, wenn ich will. Evtl. übersehe ich dabei etwas.
Jedenfalls sind die Reihen nicht absolut konvergent. Es gilt ja
}{a} = \cos\left(\frac{2\pi n}{a} + 2\pi\frac{k}{a}\right) = \cos\frac{2\pi n}{a})
wenn
Für ganzzahliges a kann man also zu jedem n eine Folge n' = n+a, n'' = n+2a, ... konstruieren, so dass alle (unendlich viele) Terme einen identischen Wert haben:
}{a} = \cos\frac{2\pi n}{a})
Da aber alle diese Terme in den Reihen vorkommen, wird über unendlich viele positive Terme mit identischem Wert summiert, und das ergibt sicher unendlich.
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 18. Jan 2014 18:03 Titel: |
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Das Signal ist hier als abgetastetes Signal zu verstehen das mit einer gewissen Rate abgetastet wird. Daher die diskretheit und die Abzählung mittels n.
Wenn das Signal was hier vorliegt dem Abtasttheoreom genügt (bzw. die Abtastung welche das Signal produziert hat), dann kann man aus dem vorliegenden Signal das ursprüngliche Zeitsignal gewinnen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2014 18:18 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn das Signal was hier vorliegt dem Abtasttheoreom genügt (bzw. die Abtastung welche das Signal produziert hat), dann kann man aus dem vorliegenden Signal das ursprüngliche Zeitsignal gewinnen. |
Ja, klar. Nur wäre es hilfreich, diese Definition anzugeben.
Anyway, für die Betrachtung der (absoluten) Konvergenz ist das nicht notwendig. Auch wenn ich es persönliche unbefriedigend finde, wenn ich etwas etwas über ein E, P oder X beweise, ohne zu wissen, was E, P und X denn nun sind ;-)
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3400
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| ML Verfasst am: 19. Jan 2014 01:52 Titel: Re: Aufgabe zur (Signal-)Systemtheorie |
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Hallo,
| Zitat: |
Untersuchen Sie die folgenden Signale hinsichtlich Stabilität (absoluter Summierbarkeit), beschränkter Energie, beschränkter Leistung und Periodizität (u(n) bezeichnet die Sprungfunktion).
a)
Das Signal bzw. System ist nicht stabil, da die Konvergenz dieser Cosinus-Reihe ergibt, dass sie um den Nullpunkt für -1,1 oszilliert.
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In der Systemtheorie gibt es verschiedene Stabilitätskriterien, ich bin daher nicht ganz sicher, was gemeint ist.
Die Summe des Betrages konvergiert zumindest nicht, denn innerhalb einer endlich großen Anzahl von Reihengliedern triffst Du immer wieder die |cos(...)|=1. Eine Konvergenz wäre wohl nur im Spezialfall gegeben, dass Du zufällig immer die Nullstelle des Cosinus triffst.
| Zitat: |
Die Energie ist demnach unendlich und so hat man wohl auch eine unbeschränkte Energie.
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Ja, das ist bei Leistungssignalen immer so ;-)
| Zitat: |
Die Leistung ist dann wohl beschränkt, da für den Energieteil in der Leistungsformel ein unendlich steht (was wir ja durch die unbeschränkte Leistung wissen), und der Limes für über den Bruch 0 ergibt. Es gilt so dann was zu einer beschränkten Leistung führt, oder?
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Ja, aber die Begründung ist noch nicht in Ordnung. Mit 0 mal unendlich kannst Du nicht sauber argumentieren.
In der Argumentation musst Du irgendwo die Beschränktheit der Cosinusfunktion verwenden. Die Cosinusfunktion nimmt schließlich nur Werte zwischen -1 und 1 an; also ist das Betragsquadrat maximal gleich 1, und die endliche Summe von -N...N über das Betragsquadrat kann maximal 2N+1 ergeben.
Eigentlich ist aber auch klar, dass ein reines Signussignal eine mittlere Leistung hat. Die Leistungsdefinition von Signalen ist ja an die Physik angelehnt. Wenn Du einen Widerstand R an die (im Idealfall) sinusförmige Spannung der Hausstromversorgung anlege, bekommst Du auch eine endliche Leistung heraus.
Viele Grüße
Michael |
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 19. Jan 2014 14:24 Titel: Re: Aufgabe zur (Signal-)Systemtheorie |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
In der Systemtheorie gibt es verschiedene Stabilitätskriterien, ich bin daher nicht ganz sicher, was gemeint ist.
Die Summe des Betrages konvergiert zumindest nicht, denn innerhalb einer endlich großen Anzahl von Reihengliedern triffst Du immer wieder die |cos(...)|=1. Eine Konvergenz wäre wohl nur im Spezialfall gegeben, dass Du zufällig immer die Nullstelle des Cosinus triffst.
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Ich gehe davon aus, dass die Stabilität hier in dieser Aufgabe darauf bezogen ist, ob der Reihenwert konvergiert oder divergiert.
Deswegen nochmal meine Frage. Gilt:
stabil = absolut summierbar = Reihenwert der Energie konvergiert gegen einen festen Wert
nicht stabil = nicht absolut summierbar = Reihenwert der Energie divergiert
Richtig?
| ML hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Die Leistung ist dann wohl beschränkt, da für den Energieteil in der Leistungsformel ein unendlich steht (was wir ja durch die unbeschränkte Leistung wissen), und der Limes für über den Bruch 0 ergibt. Es gilt so dann was zu einer beschränkten Leistung führt, oder?
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Ja, aber die Begründung ist noch nicht in Ordnung. Mit 0 mal unendlich kannst Du nicht sauber argumentieren.
In der Argumentation musst Du irgendwo die Beschränktheit der Cosinusfunktion verwenden. Die Cosinusfunktion nimmt schließlich nur Werte zwischen -1 und 1 an; also ist das Betragsquadrat maximal gleich 1, und die endliche Summe von -N...N über das Betragsquadrat kann maximal 2N+1 ergeben.
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Was ich hier jetzt nicht ganz verstehe, ist der Teil warum das Betragsquadrat maximal 2N+1 werden kann. Ich sehe im Betragsquadrat nirgends ein 2N+1; höchstens im Nenner des Bruches, aber der wird ja durch den Limes 0!
Wie muss ich dann hier Begründen? Muss ich also irgendwie so schreiben:
"Der Energieteil der Leistung oszilliert mit -1,1 um den Nullpunkt wodurch der maximale Wert 2N+1 werden kann und so gegen unendlich geht?"
Noch eine Frage:
Es ist in meiner Aufgabe ja auch nach der Periodizität gefragt. Wie kommt man eigentlich darauf? Ich hab mir jetzt das so zusammengereimt, dass es immer dann periodisch ist, wenn im Argument der Winkelfunktion, hier also der Cosinus, ein steht. So wird das Signal doch periodisch, oder? Wenn das nicht im Argument stehen würde, sondern nur relle Zahlen bzw. und/oder eine relle Variable die bspw. vom n abhängt, ist es nicht mehr periodisch, oder? Richtig? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2014 14:37 Titel: |
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Zu der Konvergenz für P kannst du wie folgt argumentieren:
Also ist
 = 1)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 19. Jan 2014 14:42 Titel: |
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So jetzt hätt ich hier noch zwei weitere Teilaufgaben:
Gleiche Aufgabenbeschreibung wie bei der ersten Teilaufgabe hier nun nur eine andere Signalfunktion:
 = e^{-0,1n}\cdot cos\left(2\cdot\frac{n}{10}\right) \cdot u(n))
(u(n) ist die Sprungfunktion)
- Das Signal ist nicht periodisch weil im Argument des Cosinus fehlt.
- Das Signal ist stabil also auch absolut summierbar, weil die Energie, also das Betragsquadrat, wegen der sehr schnell fallenden Exponentialfunktion, gegen 0 konvergiert,
- die Energie ist genau deswegen endlich bzw. beschränkt.
- Die Leistung ist so dann auch endlich bzw. beschränkt, weil der Bruch der Leistungsformel gegen 0 konvergiert und die Energie ebenfalls 0 wird
 = e^{0,1n}\cdot cos\left(2\pi\cdot\frac{n}{10}\right) \cdot u(n))
(u(n) ist die Sprungfunktion)
- Das Signal ist nicht periodisch weil die Exponentialfunktion die Funktion einseitig macht
- Das Signal ist nicht stabil also nicht absolut summierbar, weil die Energie, also das Betragsquadrat, wegen der sehr schnell steigenden Exponentialfunktion, gegen unendlich divergiert,
- die Energie ist genau deswegen unendlich bzw. unbeschränkt.
- Die Leistung ist aber endlich bzw. beschränkt, weil der Bruch der Leistungsformel gegen 0 konvergiert und die Energie ebenfalls 0 wird. (Hier hätte ich nun aber wieder den Fall, dass  rechnen muss, was wohl als Argumentation nicht reicht, oder? Wie geht das dann hier?) |
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 19. Jan 2014 14:51 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu der Konvergenz für P kannst du wie folgt argumentieren:
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Die 1 hinter dem zweiten Summenzeichen kommt wohl Betragsquadrat. Denn das Betragsquadrat vom Cosinus mit einem im Argument ist ja immer 1. Richtig?
Aber wenn nun N von minus unendlich bis plus unendlich über 2N+1 läuft, bekomme ich doch einen unendlichen Wert und die Reihe konvergiert nicht mehr sondern divergiert. Oder benutzt du hier konvergieren für "geht gegen einen festen Wert" wie für "geht gegen unendlich"?
Wie muss ich argumentieren, wenn im Cosinus kein steht?
Edit: Nein. Ich hab's mir jetzt nochmal versucht klar zu machen, aber ich habe es nicht verstsanden... |
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 19. Jan 2014 15:04 Titel: |
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|^2 \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} 1 = 2N+1)
Woher kommt das 
Wo kommt das  und das  her? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2014 20:14 Titel: |
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Nun, das ist eine Abschätzung. Du willst ja nicht den tatsächlichen Wert berechnen, sondern nur die Konvergenz beweisen. Also schätzt du den Betrag jedes einzelnen Termes |cos(...)| mit maximal 1 ab; das ist unabhängig vom Argument (...) des Cosinus sicher richtig. Der Wert kann nicht größer als 1 sein. Die Summe von -N bis +N liefert dir genau 2N+1 Terme, jeder davon hat maximal den Wert 1.
Nun willst du für E den Wert dieser Summe im Limes N gegen unendlich berechnen. Da habe ich oben schon argumentiert, dass du unendlich viele Werte mit |cos(...)| = "einer Konstante" bekommst, d.h. dass die Summe im Grenzfall sicher divergiert. Darum ging es auch gar nicht mehr bei der Abschätzung.
Für P willst du dagegen einen anderen Grenzwert berechnen, wobei nämlich noch ein 1/(2N+1) vorkommt. D.h. wenn ich die Summe als kleiner oder gleich (2N+1) abschätze, dann ist die Summe mal 1/(2N+1) sicher kleiner gleich 1. Und damit existiert der Grenzwert.
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