Warum Tensorprodukt als Hilbertraum von Mehrteilchensystemen

Ratlos24 · Anmeldungsdatum: 30.12.2013 Beiträge: 1

Meine Frage:
Zur Beschreibung von beispielsweise 2 Teilchen nutzt man in der Quantenmechanik das Tensorprodukt der Hilberträume beider Teilchen für sich.
Wie kann ich diese Vorgehensweise motivieren?

Es ergeben sich zwei Hauptpunkte über die ich mir nich klar bin.

PUNKT1: Betrachte ich Teilchen ohne Wechselwirkung scheint mir diese Vorgehensweise noch einigermaßen plausibel da beide Teilchen die selben Zustände für sich alleine gelöst besitzten. Jedoch entsteht in diesem Tensorprodukthilbertraum eben gerade die Möglichkeit verschränkte Zustände zu beschreiben. Da verschränkte Zustände physikalisch quallitativ neues Verhalten, dass wir von der klassischen Physik her nicht kennen, beschreiben finde ich diese Vorgehensweise verstörend.
Wir definieren einfach mal schnell einen Tensorproduktraum und schwup gibt es verschränkte Zustände. Wünschenswert wäre es doch zu zeigen dass der Tensorproduktraum notwendigerweise auftritt.

Punkt2: Teilchen mit Wechselwirkung: Warum sollte in diesem Fall der Tensorproduktraum noch ausreichen um das System zu beschreiben. Kurz gesagt warum sollte der Hamiltonoperator welcher die Teilchen-Teilchen Wechselwirkung beschreibt in dem Tensorproduktraum zu lösen sein welcher Hamiltonoperatoren entstammt die die Wechselwirkung nicht berücksichtigen?

Meine Ideen:
Ich hoffe schlaue Mathematiker sagen das sei trivial Big Laugh

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Ein Tensorprodukt ist aus meiner Sicht schlicht die natürliche und allgemeinste Erweiterung des Hilbertraums, um die Beschreibung einer Vielteilchen-QM zu ermöglichen. So etwas wie "Verschränkung" findest du bereits in der einfachen QM und wird nicht erst durch das Tensorprodukt eingeführt, sondern durch den Messprozess.

Bereits die Verallgemeinerung von der eindimensionalen QM auf die dreidimensionale, kannst du mittels Tensorprodukten beschreiben. Dies bedeutet aber nicht, dass jeder Zustand als (Tensor-)Produkt geschrieben werden kann. Sondern erst eine (gf. unendliche) Linearkombination aller möglichen Produkt bildet eine vollständige Basis des entsprechenden Hilbertraums.

So ist es auch für nicht-wechselwirkende elektronische Systeme: Zur Beschreibungen dessen Energie-Eigenzuständen benötigst du aufgrund von Symmetrieforderungen mindestens eine Slaterdeterminate, also eine antisymmetriesierte Linearkombinationen von Tensorprodukten.

Die Eigenzustände von wechselwirkenden elektronischen Systemen, sind dann im Allgemeinen selbst Linearkombinationen von unendlich vielen Slaterdeterminaten, also keineswegs einfache Produktzustände.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079