Fluss durch Kegelfläche

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hallo zusammen,

ich scheitere leider an folgender Aufgabe:
Man betrachte einen auf der Spitze stehenden Kegel um die z-Achse mit einem Winkel

zwischen Kegelmantel und z-Achse, der in der Höhe h durch einen Deckel abgeschlossen wird. Nun soll unter Verwendung von sphärischen Polarkoordinaten

a) die Oberfläche des Kegels berechnet werden
b) der Fluss des Feldes

mit konstantem a und n = -1,0,1,... durch die Kegeloberfläche berechnet werden.

Ich weiß inzwischen wie betragsmäßig das Flächenelement dF aussieht, kann es mir geometrisch auch erklären aber bin mir nicht ganz sicher wie ich es richtig herleiten soll.

Wir haben in der Vorlesung für das Flächenelement allgemein geschrieben:

Für eine Kugel bin ich damit durchaus in der Lage mit Kugelkoordinaten das Flächenelement hinzuschreiben. Bei diesem Kegelobjekt stehe ich jedoch völlig auf dem Schlauch. Mir ist gar nicht klar, was ich hier nun als u und v und

zu wählen habe. Also ich kenne

in Kugelkoordinaten, aber das beschreibt mir doch eine Kugel und keinen Kegel oder nicht?
Bei b benötige ich ja nun das Flächenelement zum weiterrechnen. Ich weiß dort, zumindest, dass der Fluss durch den "Boden" des Kegels null ist weil die z-Komponente des Vektorfeldes null ist. Deshalb ist dieser Beitrag auch null. Die Formel für den Fluss ist ja

asdsdsdsds · Gast

Koordinatensysteme beschreiben selbst erstmal gar nichts, sie geben dir eine von vielen Darstellungsmöglichkeiten für verschiedene Figuren. Du kannst deinen Kegel in kartesischen, shperischen, parabolischen oder sonst irgendwelchen Koordinaten gleichwertig beschreiben.
Hier sollst du, wie in der Aufgabe vorgegeben ist, Kugelkoordinaten verwenden, weil in Kugelkoodinaten ein Kegel besonders einfach darstellbar ist. Das liegt daran, dass ein Kegelmantel ein Ausschnitt aus einer Kugel darstellt.
(Selbstverständlich könntest du es auch in kartesichen oder anderen Koordinaten rechnen, die ganze Rechnung wäre nur viel, viel länger und komplizierter.)

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Danke für die Klarstellung wegen der Koordinatensysteme. Leider erhalte ich für das Flächenelement dann trotzdem ein komisches Ergebnis:

Und das Integriere ich jetzt, undzwar muss Theta ja von 0 bis Theta laufen und Phi läuft einmal im Kreis also von 0 bis 2 Pi:

Das kann doch nicht richtig sein.
Edit: Bzw. das gibt mir doch lediglich ein Stück Fläche auf einer Kugel aus oder nicht? Ich möchte aber doch die Mantelfläche haben unglücklich

Edit 2: Ich glaube ich weiß nun was zu tun ist. Das Flächenelement auf der Mantelfläche ist analog zu den oben:

Müsste so stimmen oder?

addaddsd · Gast

Da brauchst du eine Skizze. Theta ist fest vorgegeben, integrieren muss du über r und Phi.

asdsd · Gast

@Edit2 ja

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Okay gut. Mir ist noch ein kleiner Fehler aufgefallen. Weil die Höhe in der der Kegel aufhört ja h ist, r aber ja nicht in der z-Achse liegt, integriert man eigentlich r von 0 bis

.
Damit ändert sich das Endergebnis dann eben um diesen cos² Term durch den man teilt.

Beim Ausrechnen des Flusses multipliziere ich das Vektorfeld mit dem Flächenelement (der Theta Einheitsvektor ist mir bekannt), und integriere dann nochmal. Ich erhalte dann:

Das Ergebnis scheint mir ganz gut zu sein, passt auch zu der Aussage, dass n bei -1 anfängt und nicht bei -2.

sdadadd · Gast

h habe ich für die Mantellänge benutzt,