Felder an Grenzflächen

Glücksritter · Anmeldungsdatum: 21.04.2013 Beiträge: 33

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Zeigen Sie, dass beim Übergang zwischen zwei Dielektrika mit unterschiedlichen Dielektrizitätszahlen folgendes gilt: Die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung

und die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke

sind stetig; die Tangentialkomponente von

und die Normalkomponente von

sind unstetig. (Hinweis: Benutzen Sie den gaußschen Integralsatz und die Grundgleichung der Elektrostatik

)
(Das soll ein geschlossenes Integral sein)

Meine Ideen:
Also alles was ich weiß ist, dass sich das elektrische Feld innerhalb des Dielektrikums verändert. Es wird schwächer.
Ansonsten stehe ich ziemlich auf dem Schlauch. Ich weiß auch nicht was mit Normal und Tangentialkomponente eines Vektors gemeint ist.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Glücksritter · Anmeldungsdatum: 21.04.2013 Beiträge: 33

Das würde ja bedeuten, dass das elektrische Feld schräg in dem ersten Dielektrikum verlaufen muss. Sonst könnte ich ja den Vektor an der Grenzfläche nicht in zwei Komponenten zerlegen.
Heißt aber auch, dass es sich bei dieser Aufgabe nicht um einen Plattenkondensator handeln kann, weil da das Feld ja senkrecht zu den Platten verläuft und man somit die Vektoren nicht zerlegen kann.

Woraus erkennt man eigentlich, aus der Aufgabe, dass das Feld schräg laufen muss? Alleine schon aus der Forderung, dass eine Normal- und eine Tangentialkomponente untersucht werden soll?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Richtig, da in der Aufgabe nichts von Plattenkondensator steht, sollte man auch keinen Plattenkondensator behandeln und im Allgemeinen kann das Feld in beliebige Richtung zeigen. Du kannst allerdings annehmen, dass es auf jeder Seite der Grenzfläche konstant ist (sobald Du die Aufgabe gelöst hast kannst Du Dir überlegen wieso Du dies annehmen kannst).

Glücksritter · Anmeldungsdatum: 21.04.2013 Beiträge: 33

Ich stelle mir das jetzt so vor wie in meiner Skizze.
Wie man sieht bleiben die Komponenten parallel zur Fläche erhalten. Das mache ich ich, weil ja gesagt wird, dass diese Komponente stetig ist.
Ich verstehe jetzt allerdings nicht, wieso das beim Verschiebungsvektor anders sein soll. Es gilt doch:

Damit ist doch

parallel zu

, nur der Betrag ist anders.
Also müssen sich die Komponenten der Vektoren doch genau so verhalten?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

1. (auch wenn es unwichtig ist für dieses Problem)
D = epsilon * E ist nur eine Näherung, die zwar für viele dielektrische Materialien gilt, aber es ist nur eine Näherung/Annahme.

2.
epsilon ist unterschiedlich in Material 1 und 2, darum gelten für D andere Stetigkeitsbedingungen als für E.

Die Details von 2. zu zeigen ist die Aufgabe.

Glücksritter · Anmeldungsdatum: 21.04.2013 Beiträge: 33

Eine Idee um die Stetigkeit der beiden Tangenten von

zu zeigen.
Ich benutze:

Ich wähle

so, dass die zur Grenzfläche senkrechten Teile jeweils zur hälfte in die Materialien hereinreichen (skizze).
Allerdings sage ich, dass der Streckenanteil x so klein sein soll, dass die Normalenkomponente der Vektoren wegfallen. Für diesen Kleinen Bereich würde dann gelten:

, also auch:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Der gewählte Weg sieht doch schonmal gut aus. Jetzt rechne doch mal

für diesen Weg aus und guck was gelten muss, damit dieses Integral 0 ergibt.