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navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
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 navix Verfasst am: 04. Jul 2022 17:25 Titel: Felder einer Urankugel |
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Meine Frage:
Das Uran-Isotop  ist ein  -Strahler, welcher Heliumkerne mit einer Ladung  emittiert. Die Halbwertszeit dieses Zerfalls beträgt  .
Ein derartiges, zur Zeit  neutrales Uran-Kügelchen mit Radius  emittiere eine isotrope Stromdichte, bestehend aus diesen -Teilchen, der Gestalt
 = \frac{I_0}{r^2} e^{-t / \tau} \hat{r}, \quad r > a)
(a) Berechnen Sie das elektrische Feld ) im Außenraum ( ). Nehmen Sie an, dass die Ladung in dem Kügelchen homogen verteilt ist und, dass das elektrische Feld durch die -Teilchen vernachlässigbar klein ist.
(b) Berechnen Sie das Magnetfeld ) für . Beachten Sie, dass es aufgrund der Kugelsymmetrie keine azimuthale Magnetfeld-Komponente gibt.
Meine Ideen:
Für die (a) habe ich mir Folgendes überlegt: Es gilt die Kontinuitätsgleichung
Die Stromdichte hat nur eine radiale Komponente, womit ich erhalte:
 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(I_0 e^{-t / \tau}) = 0)
was ja nicht sein kann, da die Urankugel Ladung emittiert und somit seine Ladungsdichte über die Zeit geringer werden müsste. Vielleicht habe ich aber auch ein Missverständnis mit dieser differentiellen Form der Kontinuitätsgleichung.
Mit der integralen Form
erhalte ich jedoch (Integration über die Kugeloberfläche):
 = \frac{3 I_0 \tau}{a^3} e^{-t / \tau} + \rho_0)
Mit der Bedingung  = 0) wird das zu
 = \frac{3 I_0 \tau}{a^3} \left( e^{-t / \tau} - 1 \right) )
Damit könnte ich doch jetzt prinzipiell die bekannte Form des elektrischen Feldes einer homogen geladenen Kugel nehmen und mein zeitabhängiges ) einsetzen. (?)
_________________
Für die (b) fällt mir leider kein Ansatz ein. Eventuell kann man das Vektorpotential über die Stromdichte berechnen und daraus auf das B-Feld schließen? Das Vektorpotential habe ich allerdings bis jetzt nur für statische Magnetfelder verwendet. (und ausschließlich in der Literatur unter Magnetostatik kennengelernt)
Weiterhin gibt es ja noch die Maxwell-Gleichung
mir ist aber nicht klar, ob ich die differentielle Form hier nutzen kann (siehe Problem bei (a)). |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 04. Jul 2022 19:12 Titel: Re: Felder einer Urankugel |
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| navix hat Folgendes geschrieben: | | Für die (b) fällt mir leider kein Ansatz ein. Eventuell kann man das Vektorpotential über die Stromdichte berechnen und daraus auf das B-Feld schließen? Das Vektorpotential habe ich allerdings bis jetzt nur für statische Magnetfelder verwendet. (und ausschließlich in der Literatur unter Magnetostatik kennengelernt). |
Ein B-Feld wird es nicht geben (außer im atomaren Maßstab), denn die Heliumkerne werden in jede Richtung aus dem Kügelchen herausgeschossen.
Zur Berechnung:
Kannst Du nicht ein Urankügelchen mit Radius a nehmen, dessen Volumen V berechnen V = (2a)³*PI/6 und mit der spezifischen Dichte (19,16 g/cm³) multiplizieren?
Eine Division mit der Masse des U238-Atoms ergibt die Anzahl der Atome.
Mit der Halbwertszeit kannst damit die Anzahl der verschossenen positiven Einheitsladungen (2 (+q) pro Atom) und damit den Strom errechnen.
Noch einfacher gehts mit der spezifischen Aktivität von 238U, die beträgt 12.450 Bq/g.
Strom mal Zeit ergibt die langsam steigende Ladung es Kügelchens (wenn es zwischenzeitlich nicht seine überflüssigen Elektronen verliert).
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 04. Jul 2022 20:41 Titel: |
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| navix hat Folgendes geschrieben: |
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Das stimmt, wenn die Stromdichte stimmt
Aber müsste die nicht so aussehen?
 = \frac{I_0}{4\pi r^2} e^{-t / \tau} \hat{r}, \quad r > a)
Dann wäre
 = \frac{3 I_0 \tau}{4\pi a^3} \left( e^{-t / \tau} - 1 \right) ) |
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navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
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| navix Verfasst am: 04. Jul 2022 21:30 Titel: |
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| jmd hat Folgendes geschrieben: | | navix hat Folgendes geschrieben: |
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Das stimmt, wenn die Stromdichte stimmt
Aber müsste die nicht so aussehen?
Dann wäre
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Die Stromdichte war genauso in der Aufgabe gegeben. Dann wundert mich aber, dass die Ladungsmenge  pro Teilchen nicht genutzt wird. Diese sollte ja auch zum Feld beitragen. (Die Änderung der Ladungsdichte pro Zeit sollte sich verdoppeln)
Für das B-Feld fällt mir immer noch nicht so wirklich ein Ansatz ein.  |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 04. Jul 2022 22:05 Titel: |
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Stromdichte ist doch Strom pro Fläche. Und ich frage mich wo bei der gegebenen Stromdichte die Fläche sein soll
| navix hat Folgendes geschrieben: | | Dann wundert mich aber, dass die Ladungsmenge pro Teilchen nicht genutzt wird |
Doch die wird genutzt
N0 ist die Anzahl der Uranatome bei t=0
Naja der Ansatz beim B-Feld sieht so aus
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