E=mc² Herleitung Gedankenexperiment

EinsteinFan · Gast

Meine Frage:
Kann man einem Nichtphysiker wie mir die Herleitung der Formel E=mc² erklären?
Braucht man dafür "spezielle" Mathematikkenntnisse?

Oft liest man ja ein Wirrwarr, wenn es um die Formel E=mc² geht.
Ist Energie wirklich das selbe wie Masse oder gilt das nur unter besonderen Bedingungen?

Meine Ideen:
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escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hallo EinsteinFan,

Energie und Masse sind äquivalent und das gilt erstmal grundsätzlich.
Ein ganz anschauliches Beispiel sind große Beschleunigeranlagen in denen man Teilchen beschleunigt, wie das DESY in Hamburg oder bei CERN.

Für die kinetische Energie eines Teilchens gilt klassisch ja schon:

. Hier lässt sich zumindest für kinetische Energien schon sehen, dass Masse und Energie zueinander äquivalent sein müssen. Die genannte Formel ist im Prinzip eine Näherung der relativistischen kinetischen Energie die für Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindgkeit gelten.
Die relativistische Formel lautet nämlich:

Beginnst du nun also ein Teilchen zu beschleunigen und kommst in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit, so wird der Nenner des gesamten Bruches immer näher gegen null gehen und damit wird auch die ganze Klammer beliebig groß. Das heißt also du müsstest beim beschleunigen eines Teilchens irrsinnige Energien aufbringen um es ganz nah an die Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Man könnte jedoch auch sagen, dass die Masse des Teilchens immer weiter zunimmt.

Soviel zu der Äquivalenz. E = mc² sagt dir, dass die Gesamtenergie eines Teilchens gleich seiner relativistischen Masse m mal einer konstanten ist.
Herleiten kann man das ohne spezielle Mathekenntnisse, sofern man ein bisschen Bruchrechnen kann und ein ganz gutes Vorstellungsvermögen hat. Bevor ich hier jetzt nur einen Text umformuliere poste ich mal einen Link: http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie#Einsteins_Herleitung

Kannst ja nochmal schreiben, wenn du etwas an der Herleitung nicht verstehst.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

An TomS

Nun, falsch ist es trotzdem nicht. Aber in Ordnung, wenn man es in einem anderen Zusammenhang sehen möchte. smile

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

EinsteinFan · Gast

Aber wenn man sagt, dass Ruheenergie und Ruhemasse äquivalent, dann ist diese Aussage völlig korrekt?

EinsteinFan · Gast

Als "EinsteinFan" möchte ich wenigstens über diese Formel genau bescheid wissen. Deshalb nochmal die Frage: Aber wenn man sagt, dass Ruheenergie und Ruhemasse äquivalent, dann ist diese Aussage korrekt?

Edit: Ist die Formel E=mc² wirklich dafür verantwortlich, dass bei der Kernfusion in der Sonne Energie frei wird?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

EinsteinFan · Gast

Aber warum wird denn jetzt bei der Kernfusion (in der Sonne) Energie frei?

Für die Erklärung dieses Sachverhaltes wird doch immer die Formel E=mc² herangezogen.

huihuihui · Gast

Ich bin zwar auch nur Laie, aber da ich mich im Moment auch mit diesem Thema befasse versuche ich mich trotzdem mal an einer Erklärung. smile

Bei der Kernfusion ist die resultierende Kernmasse geringer als die ursprünglichen Einzelmassen. Diese "fehlende" Masse wird in Energie umgewandelt. Das nennt man Massendefekt. Hierzu kann ich dir den passenden Wikipedia Artikel ans Herz legen.
Und eben wegen dieser Umwandlung eines Teils der Masse in Energie wird die Formel E=mc^2 in diesem zusammenhang immer erwähnt.
Ich hoffe das entspricht sowit den Tatsachen smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ich versuche mal eine einfache, jedoch mathematisch exakte Erklärung. Ich setze dabei immer c=1, um Schreibarbeit zu sparen (und weil das in der Kern- und Teilchenphysik eine gängige Konvention ist)

Wir starten mit der Formel für Gesamtenergie E, Impuls p und Ruhemasse m eines Teilchens

Diese Formel besagt, dass sich die Gesamtenergie E aus einem kinetischen Anteil (aus dem Impuls p) und einer Ruheenergie (aus der Ruhemasse m) zusammensetzt. Dabei gilt dieser Zusammenhang jedoch nicht additiv direkt für diese Größen, sondern für deren Quadrate. Ändert sich die Gesamtenergie E aufgrund einer Änderung des Impulses p, so bleibt die Masse m dabei jedoch konstant [einer der Gründe, auf eine geschwindigkeitsabhängige Masse zu verzichten; Masse m ist sowohl in der Newtonschen als auch in der relativistischen Mechanik eine unveränderliche Größe, die nicht vom Bewegungszustand des Teilchens abhängt; Einführung einer relativistischen Masse M(v) ist unnötig und verwirrend]

Nun betrachten wir die Wertepaare (E,p) für vier Teilchen in einer Kernreaktion, z.B.

d.h. die Teilchen A und B reagieren, und es entstehen zwei neue Teilchen C und D. A und B können zwei Atomkerne sein, die zu einem dritten Atomkern C verschmelzen; D wäre dann z.B. ein Neutron, das ebenfalls frei wird. Die o.g. Gleichung gilt dabei zunächst für jedes einzelne Teilchen separat.

Betrachten wir einen einfachen Fall, bei dem dem die beiden Teilchen A und B in Ruhe sind (p=0) und verschmelzen (das ist nicht realistisch, stört aber für die grundsätzliche Überlegung nicht). Für die Wertepaare (E,p) gilt dann

Die entstehenden Teilchen werden i.A. eine andere Masse haben, und sie werden im allgemeinen Impuls tragen, d.h.

Dabei habe ich den Impuls so gewählt, dass die Impulserhaltung gilt, dass also der Gesamtimpuls von C und D als Summe der Einzelimpulse wieder Null ergibt.

Für die Engieerhaltung, d.h. dass die Summe der Energien von A und B gleich der Summe der Energien von C und D ist, gilt die kompliziertere Formel

Diese Formel besagt, dass links eine Gesamtenergie steht, die ausschließlich Ruheenergie entspricht, während rechts außerdem kinetische Energie also Impuls beiträgt. In diesem Sinne wird Ruheenergie ganz oder teilweise in kinetische Energie umgewandelt, diese wird also frei und durch die Teilchen C und D weggetragen.

Betrachten wir ein sehr einfaches Beispiel, bei dem diese Umwandlung von Ruheenergie in kinetische Energie vollständig erfolgt: Ein Elektron-Positron-Paar jeweils mit Ruhemasse m und jeweils in Ruhe wandelt sich in ein Photonpaar jeweils mit Ruhemasse Null um. Die letzte Gleichung wird dann zu

Links haben wir Gesamtenergie ausschließlich in Form von Ruhemasse, rechts entspricht die Gesamtenergie vollständig der kinetischen Energie (resultierend aus dem Impuls) der beiden Photonen.

Man beachte, dass die Summe der Ruhemassen sich ändert (2m für das Elektron-Positron-Paar, rechts Null für das Photonpaar) nicht jedoch die Gesamtenergie sowie der Gesamtimpuls; für diese beiden Größen gilt ein Erhaltungssatz.

[Man beachte außerdem, dass ich nie die relativistische Masse M(v) verwendet habe. Dies ist zur Erklärung weder notwendig noch sinnvoll - und im Falle der Photonen mit Ruhemasse Null auch nicht erlaubt, da für diese (m=0, v=c) die relativistische Masse mathematisch nicht definiert werden kann.]

Nun noch zum sogenannten Massendefekt. Aufgrund der Quadratwurzeln kann man hier nicht mehr so einfach Massen addieren oder subtrahieren. Schwierig wird es insbs. wenn alle vier beteiligten Teilchen eine Masse tragen. Betrachten wir den einfacheren Fall, dass das vierte Teilchen einem Photon entspricht, also Ruhemasse Null hat. Dann vereinfacht sich die o.g. Gleichung zu

Der Massendefekt Delta-m, also die Differenz der Massen von A + B einerseits und C andererseits steckt im Impuls p, der sowohl von C als auch von D getragen wird.

[Meine Formulierung ist sparsam bzgl. der verwendeten Definitionen. Man benötigt keine weiteren Begriffe wie Ruheenergie, relativistische Masse o.ä. Die Begriffe Gesamtenergie E, Impuls p und Ruhemasse m sind ausreichend, weitere Begriffe sind insgs. überflüssig und stiften mehr Verwirrung als das sie helfen. Der "relativistische Pythagoras" fasst alle diese Begriffe zusammen.]