Bewegungsgleichung gekoppelte Punkte

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Meine Frage:
Ich suche die Bewegungsgleichung für zwei (masselose) Punkte die in einem festen Abstand l aneinander hängen.

o-------o (Abstand fest l)

Die Beträge der Geschwindigkeiten der beiden Punkte seien gegeben durch

wobei

der Abstand der beiden Punkte i=1,2 vom Nullpunkt sei.
Gesucht wird die Geschwindigkeit v des Mittelpunktes der beiden Punkte in Abhängigkeit von der Zeit, insbesondere von den

Meine Ideen:
Ich bin der Meinung, dass

sein sollte. Die

sind nur die Beträge der

. Wie komme ich an die Richtung von

?

Was mich irritiert: zu jedem Zeitpunkt müssen wegen dem festen Abstand l die beiden Geschwindigkeitsvektoren

parallel sein. Andererseits muss der eine Punkt ein wenig um den anderen kreisen, wenn nicht beide Punkte zufällig gerade gleich weit vom Ursprung entfernt sind.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Der Mittelpunkt ist bei

Ableiten und fertig ist die Geschwindigkeit.

Wegen der Bedingung, dass die Massen eine bestimmte Laenge voneinander haben, unterliegen die Geschwindigkeiten der beiden Endpunkte allerdings Nebenbedingungen.

Das einfachste um die Bewegungsgleichung aufzustellen ist Lagrange Methode mit Langrange Multiplikatoren fuer die Nebenbedingung.

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Scherzkeks. Damit bin ich dann auch nicht weiter, als mit der Erkenntnis, dass [latex]v = 1/2(v_1+v_2)[/latex], denn das ist genau die Ableitung Deiner Formel.

In der Tat hätte mich halt gerade interessiert, wie das unter Einhaltung der Nebenbedingungen aussieht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Ich habe mir das jetzt noch einmal im Buch von Neuenschwander angesehen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen. Mir ist allerdings nicht klar wie der Ansatz hier aussehen muss. Der Standardansatz für Bewegungsgleichungen ist wohl immer

,

wobei K kinetische und U die potentielle Energie ist. In meiner Problemstellung ist offenbar U konstant gleich 0. Aber woher soll ich K nehmen ohne Masse. Ich wollte mich eigentlich gar nicht um Massen kümmern, sondern eben nur um die Geschwindigkeiten.

Sollte ich nun nur um den Formalismus verwenden zu können eine Masse einführen, oder gar je eine. Oder gibt es einen einfacheren Ansatz?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Irgendwie ist nicht ganz klar was Du eigentlich machen willst. Wenn Du einfach nur wissen willst, wie die Geschwindigkeit des Mittelpunkts von den Geschwindigkeiten der Endpunkte abhaengt, das steht oben.

Wenn Du explizite Beweglungsgleichungen ausstellen und loesen willst dann geht dies am einfachsten mit dem Lagrangeformalismus und Lagrangemultiplikatoren Dafuer fehlen Dir aber noch die Anfangsbedingungen (oder Du hast sie nicht angegeben) und zweitens musst Du dein Problem dann ordentlich definieren: Es ist ein Unterschied, ob dies ein massiver, rotierender Stab sein soll oder zwei (evtl unterschiedliche) Massen, die durch einen (masselosen oder massiven) Stab verbunden sind.

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Ok, ich war wohl etwas lax in der Formulierung. Ich versuche es noch einmal etwas genauer:

a) Gegeben zwei Punkte die sich über der Zeit im Raum bewegen, also

. Die Geschwindigkeit der beiden Punkte werde mit

bezeichnet.

b) Weiterhin gegeben eine Funktion

. Diese Funktion sei hinreichend oft stetig differenzierbar.

Die Forderungen sind:
i) Der Abstand der beiden Punkte bleibt konstant

.

ii) Der Betrag der Geschwindigkeit der beiden Punkte ist zu jedem Zeitpunkt festgelegt durch

.

Als Randbedingungen seien zwei beliebige Startpunkte

gegeben, die den Abstand

voneinander haben.

Die Frage ist: wo befinden sich die zwei Punkte nach der Zeit

? Alternativ: wie sieht die Gleichung für die beiden

in Abhängigkeit von

und von den beiden Anfangspunkten aus. (Beachte:

alleine gibt nur den Betrag der Geschwindigkeiten an. Da feht noch die Richtung.)

Vielleicht ist das Problem nicht wirklich physikalisch, da ich keine Massen angebe. Aber wenn ich mir eine Kugel gegebener Masse mit konstantem Propellerantrieb in Schwerelosigkeit in mehr oder weniger dichtem Gas vorstelle, dann dürfte der Betrag der Geschwindigkeit der Kugel nur noch von der Gasdichte abhängen. Koppele ich zwei dieser Kugeln, dann habe ich im wesentlichen die oben geschilderte Situation. (Aber bitte nun keine Diskussion über propellerangetriebene Kugeln in einem Gas. Die eigentliche Frage steht oben grübelnd

)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Du schreibst: Gegeben sind die Funktionen s_i(t), die mir sagen wann das Teilchen wo ist, und wenig spaeter fragst Du "Wo ist denn das Teilchen zur Zeit t?"...

Ich versteh einfach nicht was Du gross machen willst. So wie Du es beschreibst, ist alles gegeben und es ist nicht mehr zu tun als abzuleiten.