Hilfe Uni-Vorleistung: Schwarzer Körper / erwärmung / Bolzma

hilfloserEhemann · Anmeldungsdatum: 23.05.2012 Beiträge: 3

Meine Frage:
Vorweg: diese Aufgabe wurde meiner Freundin gestellt die seid dem letzten Semester schwer mit der Gesundheit zu kämpfen hat. Mir, als BauIng, fehlen einfach die Grundlagen um Ihr hierbei zu helfen :'(
Weder der Tutor noch die befreundeten Kommilitonen wissen wie diese Aufgabe zu lösen ist
PROBLEM Sie braucht die Punkte dieser Aufgabe um zur Prüfung zugelassen zu werden!

a) Gegeben ist ein Boden (20cm Tiefe) mit einer Oberflächentemp. von 280K.
Berechnen Sie, welche Oberflächentemperatur der Boden annehmen würde, wenn sich dieser eine Stunde lang durch Sonnenstrahlung aufheizt
Gehen sie davon aus, dass sich der Boden wie ein Scharzer Körper verhält!

b) Berechnen Sie , wie stark sich die untersten 1m der Atmosphäre erwärmen würden, wenn der Boden mit der aus a) errechneten Oberflächentemperatur eine Stunde lang abstrahlt.

Meine Ideen:
meine Ideen? eher Fragen!
wir sind mit der Planck-Funktion, Wiensches Verschiebungsgesetzt und Boltzmann auf verlorenem Posten welche Rolle spielt dabei die Tiefe und die Zeit? (im Skript und in den Vorlesungen (Videoaufzeichnung) wurde nichts erwähnt!)

Hättet Ihr vllt ein paar Anregungen wie man das lösen könnte?

Mir ist klar das man auf diesem board diskutieren soll und nichts geschenkt bekommt aber wir wissen nicht weiter SRY!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Vorab eine erste Überlegung
Die Energiestromdichte eines Schwarzen Strahlers bei konstanter Umgebungstemperatur T_0 ist

. Das müßte im Falle eines Strahlungsgleichgewichtes der Solarkonstanten entsprechen, womit man rechnerisch zu T käme.
Bin mir aber keinesfalls sicher, ob das hierzu paßt! Welchen Sinn haben die 20 cm oder die 1 Stunde? Vielleicht zum Wärmeausgleich? Müßte nicht der zweidimensionale Fall betrachtet werden ~ T³ ? grübelnd

Frage am Rande: Um welche Art Prüfung geht es?

dermeister · Anmeldungsdatum: 02.05.2011 Beiträge: 262

Also ich hab da jetzt mal was probiert, ich weiß nicht ob das kompletter Müll ist oder nicht, aber vielleicht hilft's euch ein bisschen weiter:
Wir nehmen an, dass die Temperatur im Boden immer gleich ist (also oben gleiche Temperatur wie unten und mitte). Dann gilt für die änderung der inneren Energie des Bodens:
[latex] dE = dE_{in} + dE_{out} [/latex]
Dabei können wir einsetzen:
[latex] dE = c \cdot m \cdot dT = c \cdot A \cdot d \cdot \varrho \cdot dT [/latex]
mit c der Wärmekapazität; d der Dicke, A der Fläche und Rho der Dichte.
[latex] dE_{in} = P_{Sonne} \cdot dt = E_0 \cdot A \cdot dt [/latex]
mit E_0 der Solarkonstante.
[latex] dE_{out} = A \cdot \sigma [/latex]
Wenn man das einsetzt und durch dt teilt, dann bekommt man eine Differentialgleichung für T (sieht nach bernoulli oder so aus)
Vorteil: Zeit und Dicke sind berücksichtig.
Nachteil: wir brauchen c*rho; außerdem ist nicht berücksichtigt, dass die Wärme im Boden ja langsam nach unten geleitet wird. Da bräuchte man dann entweder wieder einen zusätzlichen Wert, die Leitfähigkeit, oder man nimmt an, dass zwischen einzelnen Schichten im Boden auch gestrahlt wird (das wird dann aber kompliziert).

Wie gesagt, ich weiß nicht was das wert ist... und in der Vorschau hat das Latex irgendwie nicht funktioniert, sorry dafür, vielleicht kann das jemand korrigieren, ich weiß nicht warum.

hilfloserEhemann · Anmeldungsdatum: 23.05.2012 Beiträge: 3

erstmal vielen Dank an franz und dermeister!!!

@franz
Wir hatten auch überlegt ob man nicht lieber ein 2D-Fall annehmen soll!
aber die Tiefenangabe musste ja einen Sinn haben?! und dann noch die Zeit?! trotzdem thx Augenzwinkern

@dermeister
Dein Ansatz (eigentlich die Lösung) ist echt TOP! Rock

Nur ohne die gedanken ob es nach unten strahlt oder in Schichten
wir nehmen einfach einen Körper der sich gleichmäßig aufwärmt, keine energie während der aufheizung weiter gibt/verliert und unbeeinflusst von anderen Schichten

dT=Q/mc

Q = thermische Energie die einwirkt (342W/m² >> 1231 kJ/hm²)
[342W/m² wird als mittel verwendet >> Quelle Uni]
c = spez. Wärmekapa. des Bodens (0,8kJ/kgK)
m = klar Masse (rho 2t/m³ >> 400kg/m²)
[c und m >> Quelle web frei gewählt]

dT=3,85K/h

sieht glauben wir vernünftig aus Big Laugh

------------------
jetzt das komische!
b) da nehmen wir jetzt P=sigmaT^4 (Boltzmann / schwarzer 3D-Strahler)
ergo Abstrahlenergie von 368,08W/m² = 1325,08kJ/hm²

m = 1m³ Luft = 1,3kg ; cLuft = 1kJ/kgK

dT = P/mc = 1019,3 K/h !?!?!?!

ein anstieg von 1019K?
vllt erkennt jemand den Denkfehler den wir grade haben?!

Nochmal Danke an alle die reingeschaut haben!

dermeister · Anmeldungsdatum: 02.05.2011 Beiträge: 262

zu b):
Ich denke mal, dass die Luft vermutlich nicht alles absorbiert, sondern ein großteil wieder durchgelassen wird. Wie man das aber berechnet, weiß ich nicht so genau, vielleicht gibt's irgendeinen Transmissionskoeffizienten oder so, aber bei Luft ist das denke ich Frequenzabhängig, wie viel durchgelassen wird. Da bräuchte man dann wieder das Plancksche Gesetz, rechnet bei jeder Frequenz den Prozentsatz weg und dann wieder einmal drüberintegrieren. So würd ich das machen, aber ich kann das nicht umsetzen, da ich nicht weiß, was man da so in der Uni macht.
Jetzt ist mir beim zweiten Lesen aber noch was aufgefallen: ihr habt die Fläche vergessen und stattdessen einfach mit 1 m^3 gerechnet, kann das sein?
Richtig wäre folgender Ansatz:
E=c*m*T; mit der Energie E, die von unserem Boden abgestrahlt wird.
E=t*A*368,08 W/m^2 -> T= (t*368,08 W/m^2) / (rho_Luft * c * h)
Anmerkung: beim letzten Schritt kürzt sich dann die Fläche raus.
Jetzt kommt aber faszinierenderweise wieder euer Ergebnis raus... was heißt, dass ihr es doch richtig gemacht hab, ich versteh aber nicht wie Augenzwinkern

zu a):
also um ehrlich zu sein: ich versteh das nicht, was ihr da draus gemacht hat. Speziell das mit dem "Mittel", aber die Uni wird schon recht haben... Augenzwinkern

Ist wahrscheinlich nur eine Näherungsmethode, um die Differentialgleichung zu lösen (die doch kein Bernoulli und deswegen böse ist). Das kann ich aber auch nicht überprüfen, aber wenn ihr euch sicher seid, dann passts ja smile

Sagt bescheid, ob ihr was damit anfangen könnt.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hmm, gibt es keine Standardwerte aus der Vorlesung für sowelche Aufgaben? Damit meine ich etwa konvektionskoeffizient alpha oder die Wärmeleitung in den Boden. Bei letzterem denke ich, dass ihr das ignorieren sollt, aber zumindest alpha sollte rein, denn es ist suggestiv die umgebungstemperatur gegeben.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

dermeister · Anmeldungsdatum: 02.05.2011 Beiträge: 262

Danke für franz! Weißt zu zufällig, woran es lag, dass der das nicht gelatexed hat?
Da sieht man dann auch gleich: bei dE_out fehlt natürlich ein T^4. Aber das hat hier wahrscheinlich eh jeder gemerkt.

@kingcools: ich hatte auch über die Umgebungstemperatur nachgedacht, aber wie groß soll die denn sein? Einfach gleich der Bodentemperatur am Anfang?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT

dermeister · Anmeldungsdatum: 02.05.2011 Beiträge: 262

noch... bis wir alle zu Cyborgs werden Teufel