Überlagerung von Quantenzuständen

Dr. Quantum · Gast

Hallo,

ich bin gerade auf folgendes gestoßen:

Ein System besteht aus zwei Protonen. Der Gesamtspin kann entweder null oder eins sein.

Dazu habe ich schon die erste Frage. Wird das nicht vom Pauli-Prinzip verboten?

Dann werden die Möglichen Zustände aufgeführt die zum Gesamtspin eins führen:

u=Spin-Up
d=Spin-Down

|u,u>
|d,d>

1/Wurzel(2) * ( |u,d> + |d,u> )

Um diesen Letzten Zustand geht es mir, was sagt dieser physikalisch aus? Und wieso ist der Gesamtspin eins?

Gruß

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Wieso soll das vom Pauli-Prinzip verboten sein? Das sagt lediglich aus, dass zwei Fermionen nicht im selben Zustand sein können, d.h. in allen Quantenzahlen des Systems übereinstimmen dürfen.

Für den Gesamtspin eines Systems gibt es die sogenannte "Addition von Drehimpulsen". Die sagt dir auch, warum bei diesen Konfigurationen der Gesamtdrehimpuls 1 ist. Dass der Gesamtdrehimpuls nur 0 oder 1 sein kann, ist denke ich verständlich.

Was der Zustand "aussagt": Meiner Ansicht nach kann man da kein wirklich intuitives Bild machen. Es gibt hier dieses Bild, aber so wirklich gut passt das nicht.

Im Grunde gilt folgendes: Der Gesamtdrehimpuls kann 1 oder 0 sein.
Jetzt gibt's klassisch gesehen vier Zustände:
|u,u>, |d,d>, |u,d> und |d,u>
und man hätte vielleicht gesagt: ersten beiden sind Gesamtspin 1, die zweiten beiden 0.
Da aber die Protonen ununterscheidbar sind, müssen alle Zustände insgesamt symmetrisch sein (das System hat bosonischen Gesamtspin). Für die ersten beiden Zustände trifft das zu - für die letzten beiden nicht. Man kann jetzt genau eine symmetrische Konfiguration aus den letzten beiden Zuständen machen - das ist deine dritte - und eine antisymmetrische - das ist deine dritte nur mit einem Minus zwischen den beiden Teilen.
Wenn man das ganze nachturnt, stellt man fest, dass die Ortsfunktion für das System mit Gesamtspin 0 antisymmetrisch ist (also ist die Gesamtwellenfunktion bestehend aus Ortsteil und Spinteil wieder symmetrisch, wenn nur die vierte Konfig. zu Gesamtspin 0 führt) und das System mit Gesamtspin 1 symmetrisch ist (sprich: auch hier ist die Gesamtwellenfunktion symmetrisch, wenn man die anderen drei Konfig. nimmt).

Damit hat alles seine Ordnung.

Gruß
MI

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18008

Das Deuteron (pn) besteht aus zwei Nukleonen mit unterschiedlichem Isospin, daher sind zunächst sowohl S=0 als auch S=1 erlaubt.

In Diproton (pp) und Dineutron (nn) haben beide Nukleonen jedoch den selben Isospin und daher müssen beide Teilchen unterschiedlichen Spin tragen, d.h. zu Gesamtspin S=0 koppeln; S=1 mit zwei parallelen Spins ist nach dem Pauliprinzip verboten.

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Zur Frage, warum das Deuteron nicht für S=1 existiert und warum Diproton und Dineutron für S=0 ebenfalls nicht existieren können liegt in der Struktur der Kernkraft.

Zunächst gibt es eine anziehendes, Spin- und Isospin-unabhängiges Yukawa-Potential der Form

sowie einen Isospin-abhängigen Term der Form

sowie weitere Tensor- und LS-Terme.

Für die Spin-Spin Kopplung gilt

Und damit

Für S=0 gilt

Ich weiß nicht, ob das Gesamtpotential

für S=0 tatsächlich repulsiv ist.

Jedenfalls kann (in drei Dimensionen) ein schwach attraktives ("flaches") Potential ohne einen einzigen gebundenen Zustand existieren. Und soweit ich weiß findet man in den Streuphasen der Nukleon-Nukleon Streuung für sehr kleine Energien tatsächlich Hinweise ein sehr schwach attraktives Potential.

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Zur Symmetrisierung bzw. Antisymmetrisierung des Spinanteils:

sind per se symmetrisch.

haben keine definierte Symmetrie; man erhält daraus die Symmetrisierung

bzw. Antisymmetrisierung

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ah - so genau wusste ich das jetzt nicht, daher war ich von allgemeinen Zweiteilchensystemen ausgegangen. In Kernphysik habe ich ohnehin noch nachholbedarf - naja, vielleicht nächstes Semester Augenzwinkern

.
Danke also für die Aufklärung!

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18008

Ja, da hast du recht. Beim Deuteron liegt I=0 (Isospin von p und n antiparallel) vor, deshalb ist S=1 (Spins parallel) erlaubt und auch energetisch bevorzugt.

Beim Diproton und Dineutron läge jeweils I=1 vor, deshalb muss S=0 sein. (Spins antiparall wg. symmetrischem Ortszustand und Pauliprinzip). Aber dafür existiert eben kein gebundener Zustand (ich glaube, jetzt habe ich meine eigene Argumentation wieder verstanden ;-)