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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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 Grey Verfasst am: 19. Sep 2008 10:01 Titel: Überlagerung von Wellen |
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Ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Wellen, bei der ich sehr grosse Probleme mit dem Verständnis habe. Erstmal die Aufgabe:
Auf einem Seil überlagern sich zwei Wellen so, dass eine stehende Welle entsteht. Die Wellen werden beschrieben durch:
 = y_{max} sin (at-bt)) ,
 = y_{max} sin (at+bt))
Für die Konstanten gilt dabei:
a) Bestimmen Sie die Gleichung der stehenden Welle
b) Leiten Sie aus der Gleichung von "a" die Lage aller Schwingungsknoten im Intervall  her.
c) Leiten Sie aus der Gleichung von "a" die Lage aller Schwingungsbäuche im Intervall her.
Als Hinweils gabs noch den Zusammenhang:
+sin(\beta)=2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2}))
Ok, soweit zur Aufgabe. Leider fehlt mir hier ein wenig das Grundverständnis. Ich habe Probleme mit den Formeln, welche die Wellen beschreiben:
Die Formel beschreibt ja eine Welle bezüglich Ort und Zeit und ich weiss nicht ganz, wie ich damit umgehen muss.
Soweit ich mich erinnere gilt für die Überlagerung von zwei Wellen das Superpositionsprinzip, welches besagt:
= y_{1} (x,t)+y_{2} (x,t))
Addition von trigonometrischen Komponenten bringt mich schnell an den Rand der Panik, aber ich habe ja den Hinweis:
bekommen. Damit ergibt sich:
= 2y_{max}*2 sin (\frac{(at-bt)+(at-bt)}{2})+ cos (\frac{(at-bt)-(at-bt)}{2}) )
= 2y_{max}*2 sin (\frac{2at-2bt}{2})+ cos (\frac{0}{2}) )
= 2y_{max}*2 sin (at-bt))
Letzteres wäre, wenn ich denn richtig liege, die Welle für Frage "a"
"b" und "c" sagen mir leider so ziemlich gar nichts, und jetzt wäre auch erst mal wichtig, ob ich bei "a" den richtigen Weg gewählt habe. Hilfe wäre sehr nett. |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 19. Sep 2008 13:37 Titel: |
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Deine beiden Wellengleichungen haben keine  -Abhängigkeit. Ist das auch so in der Aufgabe?
Die Superposition der beiden Wellen ist nicht ganz richtig, rechne das nochmals sorgfältig durch und beachte, dass  . (Es hat sich aber noch ein anderer Fehler eingeschlichen.)
Für b) und c) musst du zunächst einmal wissen, was Schwingungsknoten und -bäuche sind. Weisst du das bereits?
Zur Veranschaulichung schaue dir doch mal das Bild auf Wikipedia an, da hast du auch zwei Wellen (rot und blau, halbtransparent) und deren Superposition ergibt eine stehende Welle (schwarz). Das ist genau was in deiner Aufgabe gesucht ist. |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 19. Sep 2008 13:40 Titel: |
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Hi Grey,
a) sieht gut aus!! denke das ist alles richtig.
Nun zu b) und c).
Überlege dir wie in etwa die Funktion ) aussieht. Offenbar eine Sinusfunktion mit einigen Eigenschaften. Nun überlege dir was die Bäuche sind und die Knoten. Welche Eigenschaften haben sie und wie kannst du mit hilfe dieser Eigenschaften die Anzahl der Knoten/Bäuche herrausfinden?
(Tipp: schau dir die Maxima/Minima und Nullstellen an)
Gruß Thor |
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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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| Grey Verfasst am: 19. Sep 2008 14:28 Titel: |
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@pfnuesel: danke, richtig abschreiben sollte ich die Aufgabe schon und das mit dem einsetzen der richtigen Werte in Alpha und Beta wäre natürlich auch fein gewesen. Zu viele Aufgaben zu lösen aktuell…
Ok, also zuerst noch mal die Aufgabe richtig:
Auf einem Seil überlagern sich zwei Wellen so, dass eine stehende Welle entsteht. Die Wellen werden beschrieben durch:
 = y_{max} sin (ax-bt)) ,
 = y_{max} sin (ax+bt))
Für die Konstanten gilt dabei:
Ok, dann mal vernünftig einsetzen:
=>
= 2y_{max}*2 sin (\frac{(ax-bt)+(ax+bt)}{2})* cos (\frac{(ax-bt)-(ax+bt)}{2}) )
= 2y_{max}*2 sin (\frac{2at}{2})* cos (\frac{-2bt}{2}) )
= 2y_{max}*2 sin (at)+ cos (-bt) )
Ich hoffe, das ist nun richtig.
Zu b+c:
Schwingungsknoten sind Stellen, die sich nie bewegen, also Nullstellen der Funktion.
Schwingungsbäuche sind Stellen, an denen die Amplitude maximal oder minimal ist, also Maxima und Minima der Funktion.
Hierbei kommt aber mein Grundverständnisproblem zum tragen, dass ich mir aktuell bei einer Funktion nach Zeit und Ort nicht wirklich vorstellen kann, wie der Graph aussieht. Naja, wird wohl ne Welle sein, das ist klar, aber wie ich aus der Funktion Maxima, Minima und Nullstellen, bezogen auf ein Intervall, auslesen kann, ist mir nicht klar. |
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Braetzi
Anmeldungsdatum: 19.09.2008
Beiträge: 5
Wohnort: Nordhorn
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| Braetzi Verfasst am: 19. Sep 2008 16:33 Titel: |
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Hallo erstmal,
bin selber neu hier.
| Zitat: | | Hierbei kommt aber mein Grundverständnisproblem zum tragen, dass ich mir aktuell bei einer Funktion nach Zeit und Ort nicht wirklich vorstellen kann, wie der Graph aussieht. Naja, wird wohl ne Welle sein, das ist klar, aber wie ich aus der Funktion Maxima, Minima und Nullstellen, bezogen auf ein Intervall, auslesen kann, ist mir nicht klar. |
Wenn Du Dir ein Seil vorstellst, wird das nicht klappen. Stell dir ein Haushaltsgummi vor, das, zwischen Deinen Fingern gespannt, angezupft wird. Machts Du dies zweimal hintereinander. Hast Du das Ergebnis.
Wie allerdings eine Kurvendiskussion mit 4D-Objekten gemacht wird, habe ich leider nicht im Kopf. Ist vielleicht sowas wie ne Oortsche Wolke! 
z.B. www.braetzi.de 
Zuletzt bearbeitet von Braetzi am 19. Sep 2008 16:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 19. Sep 2008 16:37 Titel: |
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+y_2(x,t)=y_{max}sin(ax-bt)+y_{max}sin(ax+bt)=y_{max}[sin(ax-bt)+sin(ax+bt)])
Da kommt keine  rein!
Und das Argument beim Sinus sollte  sein.
| Zitat: | | dass ich mir aktuell bei einer Funktion nach Zeit und Ort nicht wirklich vorstellen kann, wie der Graph aussieht. |
Schau dir den Link zu Wikipedia oben an!
Jetzt hast du eine Funktion mit zwei Variablen. Das soll dich aber nicht verwirren, gefragt ist nur nach den örtlichen Schwingungsknoten bzw. -bäuchen, du kannst also die Zeit  als Parameter betrachten, der uns nicht mehr weiter interessiert. |
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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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| Grey Verfasst am: 20. Sep 2008 10:38 Titel: |
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Ok, danke für die Geduld.
 beim  war ein copy and paste Fehler. Der Fehler mit den  ist peinlich.
= y_{max}*2 sin (ax)+ cos (-bt) )
wäre somit meine Lösung für "a"
Bezüglich "b" und "c" war der Wikipedia Link in der tat sehr hilfreich und verständnisfördernd.
Ansatz b)
Zuerst habe ich die Wellenlänge berechnet:
Wir haben also 1 Welle pro Meter
Auf Wikipedia fand sich dann ja eine Formel für den Abstand der Knoten zu Mittelpunkt:
*\frac{\lambda}{2}) mit 
ergibt
Unsicher bin ich mir hier jetzt jedoch beim Bezug der Werte. Die Formel soll ja den Abstand eines Knotens zum Mittelpunkt beschreiben. Zum Mittelpunkt einer Welle? Kann ich diese Werte so, bezogen auf mein Intervall von 0 bis 2 Metern, nutzen?
Ansatz c)
Analog zu "b", jedoch mit der Formel
 mit
und dem Ergebnis
und der gleichen Unsicherheit wie bei "b" |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 20. Sep 2008 13:27 Titel: |
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Bei der stehenden Welle bei a) hast du noch ein  statt ein  drin, ansonsten stimmt's jetzt aber.
Den Link zu Wikipedia habe ich vor allem auf Grund der Grafik gewählt, damit du dir klar machen kannst, wie so eine stehende Welle in etwa aussieht.
Die Formeln auf Wikipedia verstehe ich auch nicht ganz. Was ist mit "vom Mittelpunkt" gemeint? Auf jeden Fall sind die Formeln nur für stehende Wellen richtig, bei denen der Ortsanteil durch einen Cosinus beschrieben wird. Unsere Welle hat da aber einen Sinus (der Cosinus ist nur für den Zeitanteil), deswegen sind die beiden Formeln zu vertauschen.
Ich schlage vor wir vergessen diese Formeln und rechnen selber aus, was gesucht ist; das fördert auch das Verständnis!
Also, du hast bereits erwähnt, was für die Schwingungsknoten, bzw. -bäuche gelten muss. Bei den Knoten gilt
=0) für alle t und gesucht ist  .
Hilft dir das bereits weiter? |
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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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| Grey Verfasst am: 20. Sep 2008 15:40 Titel: |
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Also muss ich in die Formel für die stehende Welle die Werte einsetzen, diese = 0 setzen und nach x umstellen....
* cos (-bt) =0)
* cos (-\frac{\pi}{s}*0) =0)
* 1 =0)
Ist der Ansatz richtig? Wenn ja, wie bekomme ich das x aus dem Sinus heraus? Hatte ich erwähnt, dass Trigonometrie mich in Panik versetzt? |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 20. Sep 2008 16:11 Titel: |
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Der Ansatz ist richtig! Du kannst die Variablen auch so lassen, ohne bereits die Werte einzusetzen. Für mich ist das übersichtlicher, aber es geht auch so.
Wir wollen erreichen, dass =0) . Bei welchen Argumenten ist der Sinus  ? Schau dir das am Einheitskreis an, der Sinus verschwindet für die Argumente  oder anders ausgedrückt für  mit  .
Also setzen wir das Argument des Sinus gleich diesen Wert:  . Jetzt kannst du die Werte für  einsetzen und die entsprechenden berechnen. |
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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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| Grey Verfasst am: 20. Sep 2008 16:49 Titel: |
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Ok, kann ich nachvollziehen, wir haben also bei allen Ganzzahligen  eine Nullstelle und somit ein Knoten. Genau dazwischen liegen dann die Bäuche. Aber wie bringt mich das jetzt hin zum genauen Zahlenwert? |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 20. Sep 2008 17:23 Titel: |
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Na wir haben  . Für die erste Nullstelle setzen wir  und erhalten  . Der erste Knoten liegt also bei  . |
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Grey
Anmeldungsdatum: 18.09.2008
Beiträge: 17
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| Grey Verfasst am: 20. Sep 2008 21:48 Titel: |
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| pfnuesel hat Folgendes geschrieben: | | Na wir haben . Für die erste Nullstelle setzen wir und erhalten . Der erste Knoten liegt also bei . |
Hmm, ja, logisch.
Demnach wären also die Knoten bei 0m, 0,5m, 1m, 1,5m und 2m
und die Bäuche genau dazwischen bei 0,25m, 0,75m, 1,25m und 1,75m
Eigentlich alles recht verständlich, wenn man in Ruhe darüber nachdenkt.
Danke noch mal für deine Hilfe und deine Geduld, hast mir sehr geholfen das Prinzip hinter der Aufgabe zu verstehen. |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 21. Sep 2008 15:45 Titel: |
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Gerngeschehen.
Und wenn du deine Resultate mit denen vergleichst, die wir durch Anwendung der Formel auf Wikipedia gekriegt haben, so merkst du, dass die Resultate für b) und c) genau umgekehrt sind. Die Formel auf Wikipedia ist leider nicht allgemein gültig, keine Ahnung was die da zu suchen hat. |
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