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Pueggel
Anmeldungsdatum: 13.02.2012
Beiträge: 44
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 Pueggel Verfasst am: 18. Feb 2012 03:36 Titel: Olbers Paradoxon |
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Wie kann die Lösung von Olbers pradoxon mathematisch gezeigt werden?
Ich habe mir schon einige Gedanken dazu gemacht.
Es deutet ja vieles auf eine homogene Sternverteilung im Universum hin. Wenn man diese homogene Sternverteilung annimmt, dabei noch von einer konstanten Leuchtkraft der Sterne ausgeht, müsste es doch möglich sein, zu zeigen, dass die pro Raumwinkel einfallende Lichtmenge gegen unendlich strebt für ein unendlich grosses Universum. Dann hätte man die Lösung von Olbers Paradoxon durch einen Widerspruch bewiesen.
Ich hoffe auf Anregungen bezüglich meiner Vorgehensweise und bin zuversichtlich, dass das Problem zusammen zu meinstern ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2012 08:41 Titel: |
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Das Problem löst sich z.B. durch die endliche Lichtgeschwindigkeit und das endliche Alter des Universums bzw. den endlichen für uns sichtbaren Bereich des Universums
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 18. Feb 2012 14:09 Titel: |
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Die kosmologische Rotverschiebung ist da auch nicht ganz unbeteiligt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2012 21:27 Titel: |
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stimmt
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Pueggel
Anmeldungsdatum: 13.02.2012
Beiträge: 44
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| Pueggel Verfasst am: 19. Feb 2012 02:49 Titel: |
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wie kann man denn, ausgehend von einer homogenen Sternverteilung die pro Steradiant einfallende Lichtmenge in Formeln ausdrücken? Weil dann wäre die Lösung sehr nahe. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2012 11:13 Titel: |
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Da müsste ich mal nachschauen, das ist ist ekelhaft kompliziert, da man eben das jeweilige kosmologische Modell betrachten muss. Evt. steht im Weinberg "Cosmology" was dazu, den hab' ich im Regal stehen.
Lies außerdem mal hier nach: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_o.html#olb
Andreas schreibt, dass die Rotverschiebung nicht zur Erklärung ausreicht, sonden dass endliche Lichtgeschwindigkeit plus Beobachtungshorizonte ausreichen. Evtl. findest du auf der Seite auchn noch Literaturhinweise
(und wenn du ganz frech bist, dann schreibst du ihm 'ne Mail und bittest um Literaturangabe)
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Pueggel
Anmeldungsdatum: 13.02.2012
Beiträge: 44
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| Pueggel Verfasst am: 19. Feb 2012 16:49 Titel: |
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Ich glaube ich habs rausbekommen.
Seien
L = durchschnittliche Leuchtkraft
n = mittlere Sterndichte im Universum
Der pro sterad einfallende Strahlungsfluss E als Funktion von d - weil verursacht durch alle Sterne bis zur Distanz d:
= \frac{1}{4\pi} \int_0^d \! \frac{nL}{4 \pi r^2}4 \pi r^2 \, \dd r = \frac{nLd}{4 \pi}
<br />
)
Dann sieht man auch sehr schnell, dass die einfallende Strahlung gegen unendlich divergieren müsste, für d nach unendlich:
 = \lim_{d \to \infty} \frac{nLd}{4 \pi} = \infty
<br />
)
Das heisst E -> unendlich wenn d -> unendlich. Jetzt weiss man schon mit Sicherheit, dass das Universum bei homogener Sternverteilung keine unendliche Ausdehnung haben kann, weil wir eben einen schwarzen Himmel betrachten und kein E -> unendlich.
Schön wäre, wenn wir jetzt noch die Distanz r ausrechnen könnten, bei der die Projektion der Sterne den gesamten Hintergrund ausfüllt. Jemand? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2012 17:19 Titel: |
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Deine Berechnung lässt sich aber nicht auf die ART übertragen.
Zum einen gibt es einen sogenannten Sichtbarkeitshorizont; das ist die gedachte Kugelfläche (mit der Erde als Mittelpunkt), von dem der uns gerade jetzt zum erstenmal Lichtstrahlen erreichen. D.h. Punkte (Sterne) innerhalb dieses Horizontes sind bereits länger sichtbar, Punkte (Sterne) außerhalb des Horizontes sind (noch) nicht sichtbar. Die ggw. bekannten Daten lassen darauf schließend, dass sich dieser Sichtbakeitshorizont schneller ausdehnt als das Universum selbst, d.h. es treten neue Objekte in diesen Sichtbarkeitshorizont ein, obwohl sich diese selbst ebenfalls von uns entfernen (das müsste nicht so sein, es könnte durchaus eine Expansion des Universums dergestalt geben, dass der Sterne jenseits des Sichtbarkeitshorizontes verschwinden).
Die Existenz dieses Sichtbarkeitshorizontes hat natürlich etwas mit der Expansion des Universums und mit dem Urknall zu tun. Tatsächlich kann das Universum aufgrund seines endlichen Alters nicht schon immer mit Sternen gefüllt gewesen sein. Schaut man nun "nach draußen", so blickt man ja auch immer in der Zeit zurück, d.h. man wird irgendwann in eine Zeit blicken, zu der es noch gar keine Sterne gegeben hat und aus der uns deswegen auch kein Licht von Sternen erreicht.
All dies leistet eine Rechnung auf Basis eines statischen, euklidschen Universum aber nicht.
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Pueggel
Anmeldungsdatum: 13.02.2012
Beiträge: 44
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| Pueggel Verfasst am: 19. Feb 2012 17:47 Titel: |
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Ich zweifle an, dass noch neue Objekte in den Sichtbarkeitshorizont eintreten, da eben die Expansion nie Lichtgeschwindigkeit erreicht hat. Die maximale gemessene Geschwindigkeit aufgrund Rotverschiebung bis heute beträgt 0.9c.
Und sonst habe ich immerhin noch bewiesen, dass wir nicht in einem unendlichen statischen Universum leben. Kannst du mir trotzdem dabei helfen, herauszufinden, ab welchem d der gesamte Hintergrund mit den Projektionen der Sternen ausgefüllt ist?
Vielen Dank und Grüsse,
Luc |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2012 18:21 Titel: |
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| Pueggel hat Folgendes geschrieben: | | Ich zweifle an, dass noch neue Objekte in den Sichtbarkeitshorizont eintreten, da eben die Expansion nie Lichtgeschwindigkeit erreicht hat. Die maximale gemessene Geschwindigkeit aufgrund Rotverschiebung bis heute beträgt 0.9c. |
Aber nur, weil jenseits dessen keine Objekte mehr existieren bzw. sichtbar zu sein scheinen, z.B. die Objekte noch zu jung wären. In einem unendlich ausgedehnten Universum mit kosmoligescher Konstante größer Null gibt es keine Grenze für die Fluchtgeschwindigkeit.[/quote]
| Pueggel hat Folgendes geschrieben: | | Und sonst habe ich immerhin noch bewiesen, dass wir nicht in einem unendlichen statischen Universum leben. |
Stimmt, das hast du gezeigt.
| Pueggel hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du mir trotzdem dabei helfen, herauszufinden, ab welchem d der gesamte Hintergrund mit den Projektionen der Sternen ausgefüllt ist? |
Du meinst jetzt ohne Berücksichtigung der mit 1/r² abfallenden Helligkeit, d.h. alleine die geometrische Betrachtung der Sterne? Ich denke mal darüber nach - aber es ist komplizierter als bei der obigen Berechnung, da man bei der rein geometrischen Betrachtung auch die Überdeckung der Sternenscheiben berücksichtigen muss ...
... beim Olbersschen Paradoxon dagegen nicht, da das Licht im Falle einer Überdeckung nicht einfach absorbiert werden kann, da im Falle des thermischen Gleichgewichts der 'von hinten' angestrahlte Stern das Licht auch wieder emittieren muss. Daher folgt letztlich die einfache und doch richtige Betrachtung, dass die Anzahl der Sterne ~r² wächst, das bei uns (pro Raumwinkel) ankommende Licht eines Sternes dagegen mit ~1/r² abfällt, und daher das Produkt konstant ist; d.h. dass das gesamte Licht aus eine Kugelschale mit Abstand r unabhängig von r ist und daher das Integral mit wachsendem r divergiert.
Der folgende Artikel ist sehr interessant
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310808
Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe
Tamara M. Davis, Charles H. Lineweaver
(Submitted on 28 Oct 2003 (v1), last revised 13 Nov 2003 (this version, v2))
We use standard general relativity to illustrate and clarify several common misconceptions about the expansion of the Universe. To show the abundance of these misconceptions we cite numerous misleading, or easily misinterpreted, statements in the literature. In the context of the new standard Lambda-CDM cosmology we point out confusions regarding the particle horizon, the event horizon, the ``observable universe'' and the Hubble sphere (distance at which recession velocity = c). We show that we can observe galaxies that have, and always have had, recession velocities greater than the speed of light. We explain why this does not violate special relativity and we link these concepts to observational tests. Attempts to restrict recession velocities to less than the speed of light require a special relativistic interpretation of cosmological redshifts. We analyze apparent magnitudes of supernovae and observationally rule out the special relativistic Doppler interpretation of cosmological redshifts at a confidence level of 23 sigma.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Feb 2012 00:45 Titel: |
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Statt wie beim Olberschen Paradoxon die Lichtleistung der Sterne aufzuintegrieren, kann man sich die Sterne auch als (mit zunehmender Entfernung dunkler werdende) Scheiben vorstellen und sich fragen, wie diese die Himmelskugel überdecken. Mein Ansatz dazu lautet wie folgt:
Das Kugelvolumen V(r) einer Kugel mit Radius r lautet
 = \frac{4\pi}{3}r^3)
Das Volumen einer (infinitesimal dünnen) Kugelschale zwischen r und r+dr lautet
^3 = \frac{4\pi}{3}r^3 +4\pi\,r^2\,dr)
In einem Volumen V befindet sich eine Anzahl Sterne N = nV, wobei n eine r-unabhängige Dichte darstellt. Die Sterne im Volumen dV der Kugelschale überdecken auf der (inneren) Kugelfläche mit Radius r die Fläche
Dabei ist a die Fläche einer Sternenscheibe.
Dieser Fläche A entspricht ein Raumwinkel
Diese überdeckte Fläche ist nun über alle Kugelschalen, also über dr aufzuintegrieren. Dabei muss man jedoch beachten, dass sich die Sternenscheiben gegenseitig überdecken. Die pro Kugelschale (also pro dr) hinzukommende Überdeckung lautet
\cdot\omega)
Die Klammer beschreibt dabei letztlich die Tatsache, dass nur die durch Sterne innerhalb von r noch nicht überdeckte Fläche auch anteilig neu überdeckt werden kann.
Letztlich erhält man
\cdot a\,n\,dr)
Die zu lösende DGL lautet demnach
Aufgrund der Trennung der Variablen kann man sofort integrieren
 )
Auflösen liefert schließlich
}{4\pi} = 1 - \left(1-\frac{\Omega_0}{4\pi}\right)\, e^{-4\pi\,a\,n\,(r-r_0)})
Die Gleichung reproduziert die gewünschten Randbedingungen, dass bei minimalem Radius keine Überdeckung vorliegt, im Grenzfall gegen unendlich strebendem Radius die gesamte Himmelskugel überdeckt wird.
Betrachtet man den Grenzfall eines verschwindenden Radius der inneren Kugelschale, so erhält man schließlich.
}{4\pi} = 1 - e^{-4\pi anr})
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