Pauli-Prinzip 2

Universum333 · Gast

Meine Frage:
Nochmal hallo an alle! Ich habe noch mal eine Frage zum Pauli-Prinzip bzw. zu Fermionen. Warum gilt das Pauli-Prinzip eigentlich nur für Fermionen und nicht für Bosonen? Hat es etwas mit dem Spin zu tun? Oder mit der Wellenfunktion, welche bei Fermionen antisymmetrisch und bei Bosonen symmetisch ist.
Kann mir das jemand mit relativ einfachen Worten erklären?

Meine Ideen:
Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Es gibt das sogenannte Spin-Statistik-Theorem, das aus recht allgemeinen Eigenschaften der Raumzeit (u.a. CPT-Invarianz) abgeleitet werden kann. Aus diesem Theorem folgt, dass Spin 1/2 Felder mittels sogenannter Grassmann-Variablen quantisiert werden müssen. Diese haben recht seltsame Eigenschaften, u.a. gilt für eine beliebige Grassmann-Zahl z immer z²=0.

Und daraus folgt im Rahmen des Hilberraum-Formalismus der Quantenfeldtheorie unmittelbar, dass keine zwei Fermionen in allen ihren Quantenzahlen identisch sein können.

Das hat nichts mit einer Abstoßung zu tun, oder damit, dass die Dynamik dies irgendwie verhindert, sondern es ist letztlich im Formalismus konstruktionsbedingt vorhanden; es ist unmöglich, einen Zustand überhaupt hinzuschreiben, der das Pauliprinzip verletzt.

Wenn ich dir einen Bleistift gebe, kannst du keinen blauen Himmel malen; das liegt an nichts anderes als an der Beschränltheit deines Werkzeugkastens - du hast eben nur den Bleistift. Das eingangs genannte Spin-Statistik-Theorem erzwingt nun aber gerade die Wahl dieses Werkzeugkastens, also des Bleistiftes.

szabo · Anmeldungsdatum: 29.12.2011 Beiträge: 25 Wohnort: Dresden

Hallo,
also wie schon gesagt folgt aus dem Spin-Statistik-Theorem, dass die Zustände von Fermionen immer anti-symmetrisch und die der Bosonen immer symmetrisch sind. Wichtig ist nun das bei nicht-unterscheidbaren Fermionen zwischen dem Zustand und seienm anti-symmetrisches Pendant physikalisch nicht unterschieden werde kann. Hast du also zum Beispiel zwei nicht-unterscheidbare Fermionen in einem System, welche durch den Zustand

beschrieben werden, so muss dieser antisymmetrisiert werden, d.h. physikalisch relevant ist nicht der angegebene Zustand sondern folgender:

Es ist zu erkennen, dass bei

der physikalisch relevante Zustand verschwindet. Damit ist die Wahrscheinlichkeit einen Zustand vorzufinden in dem zwei gleiche Fermionen sitzen gleich Null. Das ist aber nur eine Möglichkeit das Pauli-Prinzip deutlich zu machen.
Bosonische Zustände müssten hingegen symmetrisiert werden, womit beim physikalisch relevanten Zustand ein Plus zwischen den gleichberechtigten Zuständen steht. Der Fall

ist für Bosonen also durchaus möglich, außerdem kann man zeigen, dass Bosonen am liebsten im gleichen Zustand sind;-).
Hoffe die Erklärung bringt dir was.

LG