Rotation eines Quaders

WhiteRussian · Anmeldungsdatum: 16.05.2011 Beiträge: 56

Ich habe einen Quader mit Kantenlängen a und b (in z-Richtung). Jetzt soll ich berechnen, wie groß die kinetische Energie ist, wenn sich das Ding mit der Geschwindigkeit

dreht.

Der Quader ist also in z-Richtung am schmalsten.

Was ist der Unterschied zwischen Drehung um den Mittelnpunkt und Drehung um die Ecken?

Meine Idee ist, dass das mit dem Trägheitstensor gehen muss.

Aus dem Skript habe ich die Formel

ausgegraben. Habe aber nicht wirklich den Durchblick, wie ich das anwende. Warum geht die Summer über i und j und warum bis 3 (wegen 3 Achsen?)

Gibt es irgendwie einen Trick, den Tensor einfach zu berechnen? In der Klausur hat man ja nicht ewig Zeit...

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Wenn man die Eigenwerte und Eigenvektoren dieses Tensors berechnet, dann erhält man die "Hauptträgheitsachsen" als Eigenvektoren. Das ist ein System von Koordinatenachsen, in dem der Trägheitstensor eine diagonalisierte Form annimmt - alle

sind 0 wenn

.

Das Problem dabei ist, dass dieses Koordinatensystem sich im Allgemeinen mitdreht, wenn man den Körper dreht. Dann sind nach der Drehung alle Achsen verdreht. Manchmal aber auch nicht ... (Siehe Aufgabe).

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Äh, gemeint war natürlich der Trägheittensor

. Das

ist Blödsinn.

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

wie der Quader nun im Koordinatensystem steht ist unklar.

Dreht er sich aber so, dass die Drehachse zu einer Kante parallel ist, dann genügt ein einfaches Trägheitsmoment,
z.B. J=m/12*(d^2+c^2) oder so ähnlich.

Geht die parallele Drehachse nicht durch das Symmetriezentrum, findet der Satz von Steiner Anwendung.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Anmerkung: Trägheitsmoment hat nicht unmittelbar mit einer Drehung zu tun.

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die Wahl des Bezugssystems zur Berechnung des Trägheitstensors ist willkürlich. Nur aus Zweckmäßigkeit orientiert man sich an gern Symmetrieachsen oder dem Schwerpunkt.

WhiteRussian · Anmeldungsdatum: 16.05.2011 Beiträge: 56

Ich habe die Aufgabe inzwischen geknackt. Heraus kam

-um den Schwerpunkt (Längsachs)

um die Ecke

Hab das mit dem Trägheitsmoment nun wohl gut geübt und kapiert. In der Klausur werden sicher immer die Achsen günstig liegen, da man sich sonst ja zu Tode rechnen würde.