Warum ist die Planetenflugbahn eine Ellipse? (1. Kepler-Gese

lilmaroni · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe ein Problem!
Ich muss in 3 Wochen eine GLF über die Kepler-Gesetze machen und darum stelle ich mir die Frage beim 1. Gesetz, wieso die Flugbahn der Planten elliptisch ist.
Kann mir das vielleicht auf Klassenstufe 10 Niveau erklären?
Wie kam Kepler auf diese Vermutung, durch Beobachtung?

Meine Ideen:
Ich habe gelesen, dass es mit der Exzentrizität zusammenhängt, aber ich kann mir daraus keinen Reim machen.

Für Antworten wäre ich euch wirklich sehr dankbar.

Gruß lilmaroni

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5044

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18107

Die Keplerschen Gesetze können aus der Newtonschen Mechanik sowie der genauen Form des Gravitationspotentials U(r) ~ -1/r bzw. der Kraft F(r) ~ - 1/r² abgeleitet werden. Diese Herangehensweise mittels eines dynamischen Modells verdanken wir jedoch Newton - Keper hatte lediglich Beobachtungsdaten zur Verfügung und musste empirisch vorgehen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze

Eine (sehr kurze) Ableitung findest du unter

http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze#Erstes_keplersches_Gesetz_.28Ellipsensatz.29

Dabei wird im wesentlichen eine Bewegungsgleichung (eine sogenannte Differentialgleichung) konstruiert, die Radius, Bahngeschwindigkeit sowie den Winkel und die Winkelgeschwindigkeit zueinander in Beziehung setzt. Nutzt man dann aus, dass die (ebenfalls durch diese Größen beschreibbare) Energie sowie der Drehimpuls erhalten sind, findet man eine recht einfache Gleichung, die man integrieren kann, woraus die Gleichung einer Ellipse in Parameterdarstellung folgt.

Die Bewegungsgleichung ist dabei eine Verallgemeinerung der Beziehung F=ma, die du aus dem Unterricht kennst.

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo,
vielen Dank für euere Antworten.

Eine Frage: Muss ich diesen Wiki-Artikel als 10.Klässler verstehen?

Mein Physikleher hat gemeint, dass ich die Gesetze so erklären soll, dass sie verständlich sind.
Das Warum? kann ich in der 10. Klasse nicht beantworten, oder?

Gruß lilmaroni

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo,
mir ist gerade noch eine Frage gekommen.
Warum braucht man bei den Kepler-Gesetzen die Kreisbewegung (Zentripetalkraft), obwohl es sich bei den Plantenflugbahnen um Ellipsen handelt?

Eine Antwort wäre sehr hilfreich

Gruß lilmaroni

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18107

Der mathematische Abschnitt zum ersten Keplerschen Gesetz ist wohl die einzige Hürde. Du solltest aber zumindest versuchen, zu verstehen, was ich geschrieben habe. Ich sehe keine andere Möglichkeit, die Form der Bahn herzuleiten, es geht nicht einfacher. Alternative wäre, es einfach zu glauben :-)

Wir können die Rechnung auch gerne zusammen durchgehen.

Dann kannst du dich nartürlich auch "nur" damit beschäftigen, die Form der Bahnkurve ohne Ableitung zu verstehen; dazu solltest du den folgenden Artikel mal überfliegen

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

und insbs. verstehen, wie die beiden Ellipsendarstellungen

und

zusammenhängen und wie man die Ellipse konkret berechnet; hast ein Computerprogramm, mit dem du derartige Zeichnungen erstellen kannst?

Evtl. reicht dir für die Keplerschen Gesetze auch die erste (die Parameterform) aus; die zweite ist aber in kartesischen Koordinaten wesentlich anschaulicher.

Zu deiner anderen Frage: die Gravitationskraft hält den Planeten auf seiner Bahn. Diese Kraft hängt nur ab vom Bahnradius r. Es sind aber (nach der Herleitung von Newton und der Beobachtung von Kepler) auch Ellipsenbahnen (sozusagen deformierte Kreise) möglich. Die künstliche Einschränkung auf Kreisbahnen kennst du aus dem Schulunterricht, aber dies ist eben nicht die allgemeinste erlaubte Bahnkurve.

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo ich habe jetzt bei Leifi-Pysik eine Formel für die Exzentrizität gefunden:

Diese Formel will ich nach b umstellen

Aber ich glaube nicht das das stimmt, wo habe ich einen Fehler gemacht oder hab ich doch richtig gerechnet?

(Mit den Hochzahlen bin ich etwas durcheinander gekommen)

Dann habe ich nochmal etwas im Netz zur herleitung des 3. Keplergesetzes gefunden:

Warum ist jetzt die Gravitationskonsnte gleich r ³/T² ?
Da komme ich nicht weiter, den Rest der Herleitung habe ich verstanden aber diesen letzten Teil nicht

Wäre wirklich super nett, wenn ihr mir helfen könntet

Gruß lilmaroni

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ich denke, TomS hat mit dir die Rechnung begonnen und wird sie sicherlich auch weiterführen - da möchte ich micht jetzt nicht einmischen.

Ich wollte nur einen weiterführenden Aspekt erwähnen:

Manche Leute sind der Ansicht (ich kann das gut nachvollziehen), dass es eigentlich ziemlich mysteriös ist, dass die Bahnform von Teilchen im Graviationspotential 1/r Kegelschnitten folgen (also Ellipsen bzw. Hyperbeln). Es liegt überhaupt nicht auf der Hand, warum das so sein sollte. Mathematisch kann man das ausrechnen - intuitiv ist das aber nicht klar.

Vielleicht hängt das auch damit zusammen, dass dem Kraftgesetz in genau dieser Form eine weitere Symmetrie inhärent ist, die man nicht so einfach sieht (dass das Potential rotationssymmetrisch ist, das kann man ja gut sehen - es hängt ja nur vom Abstand ab, die andere Symmetrie hängt mit der Invarianz des sogenannten Lenz-Vektors zusammen, aber das braucht dir nichts zu sagen).
Ich bin da zufällig einmal auf die interessante Seite des mathematischen Physikers John Baez gestoßen, der da einiges zusammenfasst: http://math.ucr.edu/home/baez/gravitational.html

Viele Begriffe dort werden dir nichts sagen - und vllt. schaust du dir (wenn du Interesse hast Augenzwinkern

) das auch erst an, wenn du mit der Rechnung fertig bist - aber es zeigt, dass dieses Problem doch irgendwie unintuitiv ist, egal wie einfach es ist.

Gruß
MI

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18107

Hallo lilmaroni,

tut mir leid, ich wollte in meinem Beitrag oben noch die Wikipedia-Seite zur Ellipse verlinken; hatte ich leider vergessen und habe ich jetzt nachgeholt.

Darin findest du auch die Definition der Exzentrizität. Deine Gleichung enthält leider einen Fehler. Die Exzentrizität "misst" die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Man betrachtet also zunächst die Differenz von großer und kleiner Halbachse (bzw. der Quadrate), d.h.

Teilweise möchte man nun einen Zahlenwert haben, der auschließlich von der Form und nicht mehr von der Größe abhängt; daher dividiert man noch durch die große Halbachse (bzw. dem Quadrat)

Und zuletzt zieht man die Wurzel:

Nun sollte auch die Umstellung nach b kein Problem sein, oder?

Außerdem solltest du versuchen, die beiden Ellipsengleichungen in kartesischen Koordinaten (x,y,a,b) sowie in Polarkoordinaten miteinander in Beziehung zu setzen. Das sollte mit Stoff der 10. Klasse machbar sein und lernst sicher einiges dabei.

Zum dritten Keplerschen Gesetz können wir uns ebenfalls gerne unterhalten, aber das geht nochmal über das erste hinaus, da es nicht nur die Form der Ellipsen sondern die Umlaufzeiten betrachtet; lass' uns doch eins nach dem anderen erledigen.

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo zusammen,
zuerst wollte ich allen noch hier frohe Ostern wünschen!!
Ich werde mir eure Beiträge morgen durchlesen und dann etwas schreiben, heute abend ist es schon etwas zu spät dafür. Schläfer

Mit freundlichem Gruße

lilmaroni

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo allerseits,
ich habe mal alle Informationen zum 1. Keplergesetz so zusammengeschrieben, wie ich denke, dass es für die 10. Klasse in Ordnung ist.

1. Keplersche Gesetz:

„Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.“

Dieses Gesetz besagt, dass die Umlaufbahn jedes Planten, in unserem Sonnensystem zum Beispiel die Erde, die Form einer Ellipse und das sich das Schwerezentrum, zum Beispiel die Sonne, nicht im Mittelpunkt der Planetenbahn befindet, sondern in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse, der andere Brennpunkt ist leer. Der sonnennächste Punkt wird Perihel und der sonnenfernste Punkt der Planetenbahn Aphel genannt. Diese Abweichung von einem Kreis wird lineare Exzentrizität ε genannt und ist die Entfernung der beiden Brennpunkte zum Ellipsenmittelpunkt. Die Exzentrizität einer Planetenbahn kann mit der Formel: ε= (√(a^2 )-√b²)/a berechnen. Dabei ist a die große Halbachse des Planeten in Astronomischen Einheiten (1 AE entspricht ungefähr 149,6 Millionen km, welches die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne ist) und b die kleine Halbachse (in AE). Wenn ε=0 ist, ist die Planetenbahn kreisförmig, wenn ε>0 ist, ist die Planetenbahn ellipsenförmig Aufgrund der Tatsache, dass die Planetenbahnen ellipsenförmig sind, verändert sich die Entfernung zwischen Planet und Schwerezentrum laufend. Diese Änderung der Entfernung zwischen Sonne und Erde bewirken, dass das Halbjahr mit der größeren Distanz zwischen Erde und Sonne (auf der Nordhalbkugel ist dann Sommer) länger als das andere Halbjahr ist, wenn man das Jahr durch den Frühlings- und Herbstpunkt (Übergang der Sonne über den Äquator) in zwei Halbjahre teilt.

Als Aufgabe zum 1. Gesetz:

Die große Halbachse a des Planeten Saturn hat im Mittel die Länge von 9,59 AE. Die Exzentrizität liegt bei 0,056. Berechne die Länge der kleinen Halbachse.

Lösung:

Umstellen nach b:

Ich glaube, ich habe einen Fehler beim Umstellen gemacht oder stimmt es?

Stimmt alles, was ich geschrieben habe, oder sind manche Dinge nicht korrekt?
Ihr würdet mir sehr helfen, wenn ihr es euch durchlesen könntet!

Gruß
lilmaroni

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Beim Quadrieren / Auflösen der Wurzel wurde wohl was übersehen.

kenne ich als numerische Exzentrizität (um Verwechslungen vorzubeugen).
Nebenbei: Was versteht man eigentlich unter den KEPLERschen Gesetzen? Deren historische oder die "moderne" Form?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18107

Du solltest dir mal eine Struktur überlegen und anhand dieser Struktur die einzelnen Themen abhandeln.

Du stellst dir die Frage, warum nach dem ersten Keplerschen Gesetz eliptische Bahnen vorliegen. Dann streichst du das "warum" und versuchst "nur noch", die Bahnform zu verstehen; hast du sie jetzt verstanden? Ist die insbs. die Beziehung zwischen der Parameterdarstellung in Polarkoordinaten und der Darstellung in kartesischen Koordinaten klar?

Wenn das geklärt ist, kannst du zum zweiten und dritten Keplerschen gesetz fortschreiten.

Generell solltest du dir und uns die Frage beantworten, bis zu welchem Tiefgang du die Gesetze herleiten, verstehen und anwenden sollst / willst.

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo,
erst mal vielen Dank euch beiden für eure Antworten.

Der Tiefgang sollte der 10. Klasse (G8 ) entsprechen. An http://www.leifiphysik.de/web_ph11/grundwissen/09_keplergesetze/keplergesetze.htm diesen Informationen orientiere ich mich, die waren für die Klassenstufe 11 (G9). Deswegen vermute ich, dass ich in der 10. Klasse die Gesetze von Kepler als Tatsache ansehen muss, und sie (noch) nicht herleiten kann (zumindest beim 1.+2. Gesetz).
Außerdem sollte ich eigentlich die "historischen" Keplergesetze in meiner GLF (mündlicher Vortrag) behandeln, und nicht die daraus entstehenden Gesetze von Newton.

Ich hoffe, ihr wisst jetzt, wie sehr ich ins detail gehen muss.

Gruß lilmaroni

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Guten Morgen zusammen,
das 1.+2. Gesetz verstehe ich jetzt, fehlt nur noch das 3.
Ich habe hier: http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/mechanik2/kepler/keplergravi.htm
eine herleidtung des 3. Gesetzes gefunden.
Meine Fragen dazu wären, warum man zur Herleitung die Zentripetalkraft und die Gravitationskraft nimmt?
Außerdem komme ich nicht drauf, wie die auf dieser Seite am Ende auf

kommen, warum ist

jetzt plötzlich das gleiche wie

Es wäre mir eine große Hilfe, wennn ihr meine Fragen beantworten könntet!

Gruß lilmaroni

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Danke für deine Antwort Franz, so könnte man es einfach erklären
aber, das 3. Gesetz kann ja auch mit Zentripetal und Gravitationskraft Hergeleitet werden, aber wieso ist

?

Gruß lilmaroni

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Schreib mal beide Kräfte auf (für Kreisbewegung)!

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo das habe ich schon, und ich bin eigentlich schon auf die Lösung gekommen, aber ich habe noch ein Problem
Welche Größen nehme ich für die Gravitationskonstante und für die Masse der Sonne (Sonnemassen oder kg)
wenn man die Werte also in die Formel einsetzt

müsste doch für C = 1 dabei herauskommen.

Außerdem ist mir gerade noch ein kleines Problem gekommen.

Welches der beiden Formeln stimmt (ich habe nämlich in verschiedenen Quellen gesehen, dass der Nenner und Zähler hin und wieder vertauscht wurden oder stimmen beide)?

oder

?

Ihr würdet mir wirklich sehr helfen, wenn ihr mir diese beiden Fragen beantworten könntet! Hilfe

Gruß lilmaroni

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18107

Wenn du verstehst, warum die beiden Formeln auf eine Konstante führen, dann ist alles klar. Wenn r³/T² eine Konstante C ist, dann ist auch T²/r³ eine Konstante C'; man sollte eben nur nicht beide mit demselben Buchstaben bezeichnen.

Die Konstante C ist unabhängig von dem jeweils betrachteten Planeten und hängt nur von der Sonnenmasse sowie der Gravitationskonstante ab. Das ist die wichtige Erkenntnis; der genaue Wert ist ziemlich egal.

Für die Gravitationskonstante setzt du folgenden Wert ein http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Für die Sonnenmasse natürlich die Sonnemmasse in kg den Wert http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenmasse (als SI-Einheit), sonst passt das nicht zur Gravitationskonstanten und zu deinen anderen Werten (Radius in m, Umlaufzeiten in sec. jeweils als SI-Einheiten).

Du kannst dir auch mal die Mühe machen, die Werte für r (Bahn näherungsweise als Kreisbahn angenommen) und T für die einzelnen Planeten aus Wikipedia herauszusuchen und dann r³/T² für jeden Planeten zu berechnen, um zu prüfen, ob du (näherunsgweise) tatsächlich die (planetenunabhängige) Konstante C bekommst.

lilmaroni · Anmeldungsdatum: 22.04.2011 Beiträge: 10

Hallo,
nochmals danke für all eure Antworten!!!
Ihr habt mir sehr geholfen!

Gruß lilmaroni